仿紧空间

集合 ${\displaystyle X}$  的一个覆盖，是指 ${\displaystyle X}$  的一个子集族，并且 ${\displaystyle X}$  包含于这族集合的并集。 设 ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$  是 ${\displaystyle X}$  的一族子集，${\displaystyle A}$  为子集的指标集, 若 ${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$ ，则称 ${\displaystyle U}$  是 ${\displaystyle X}$  的覆盖；若每个 ${\displaystyle U_{\alpha }}$  都是开的，则称 ${\displaystyle U}$  是 ${\displaystyle X}$  的一个开覆盖，即 ${\displaystyle X}$  的覆盖 ${\displaystyle U}$  中每个成员都是开的。

${\displaystyle X}$  的一个开覆盖是局部有限的当且仅当X中的每一点存在一个邻域，其只与这覆盖中的有限个成员相交。用数学符号来说，${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$  是局部有限的当且仅当任意 ${\displaystyle X}$  中的一点 ${\displaystyle x}$ ，存在一个邻域 ${\displaystyle V_{x}}$ ，使得 ${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V_{x}\neq \varnothing \right\}}$ 是有限的。

• 每个紧致空间都是仿紧的。
• 每个 CW 复形都是仿紧的^[1]。
• “A. H. Stone 定理”： 每个度量空间都是仿紧的。^[2] 早期的证明较为繁复，一个基础的证明可参见 M. E. Rudin.^[3] 对不可分的情形，已有的证明依赖于选择公理。 此外无论 ZF theory 或 ZF 理论外加独立选择公理都是不充分的^[4]。

一些非仿紧空间的例子：

• Prüfer 流形是非仿紧的曲面

1. ^ Hatcher, Allen, Vector bundles and K-theory, preliminary version available on the author's homepage （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. ^ Stone, A. H. Paracompactness and product spaces^{[永久失效链接]}. Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 977-982
3. ^ Rudin, Mary Ellen. A new proof that metric spaces are paracompact （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603.
4. ^ C. Good, I. J. Tree, and W. S. Watson. On Stone's Theorem and the Axiom of Choice （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 126, No. 4. (April, 1998), pp. 1211–1218.

• Dieudonné, Jean, Une généralisation des espaces compacts, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 1944, 23: 65–76, ISSN 0021-7824, MR 0013297 
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology (2 ed), Springer Verlag, 1978, ISBN 0-486-43479-6. (Dover edition).