里斯表示定理

此定理说明希尔伯特空间的连续线性泛函都可以表示成内积。

定理：${\displaystyle H}$ 是个复希尔伯特空间（也就是标量是复数），那对于任意连续线性泛函 ${\displaystyle f:H\to \mathbb {C} }$ ，存在唯一的 ${\displaystyle v_{f}\in H}$  使得

${\displaystyle f(h)=\langle v_{f},\,h\rangle }$ 

证明的重点在于先证明${\displaystyle f}$  的核 的正交补是 ${\displaystyle H}${\displaystyle H}   的一维子空间，然后取那个子空间中一个非零元素 ${\displaystyle z}$ ，设 ${\displaystyle v_{f}={\frac {f(z)\cdot z}{{\|z\|}^{2}}}}$ 。

与狄拉克符号的关系

这个定理也是量子力学中的狄拉克符号于数学上合理的依据；也就是说，当概率幅 ${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle }$  对每个任意态向量 ${\displaystyle |\phi \rangle }$  都是连续的时候，可以视为每个左向量 ${\displaystyle ⟨\psi |}${\displaystyle \langle \psi |}   （也就是表示跃迁到 ${\displaystyle \psi }$  状态的概率幅的线性泛函）都有一个相应的右向量 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  来同时代表同一个纯态 ${\displaystyle \psi }$  ，因为根据以上的表现定理， ${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle }$  就是 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  和 ${\displaystyle |\phi \rangle }$  的内积。

历史

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇发现^[1]

给定算子 ${\displaystyle A[f]}$ ，（任何人）可以构造一个有界变差函数 ${\displaystyle \alpha (x)}$ ，使得，对任何连续函数 ${\displaystyle f(x)}$  ，（任何人）有

${\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}$ 。

Étant donnée l'opération ${\displaystyle A[f]}$  , on peut déterminer la fonction à variation bornée ${\displaystyle \alpha (x)}$  , telle que, quelle que soit la fonction continue ${\displaystyle f(x)}$  , on ait

${\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}$ .

— Riesz, 1909

支集为紧的连续函数空间

${\displaystyle C_{c}(X)}$  意为由所有支集为紧的连续函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$  所构成的函数空间。

定理： ${\displaystyle X}$  是局部紧的豪斯多夫空间 ，则对正线性泛函 ${\displaystyle \Lambda :C_{c}(X)\to \mathbb {R} ^{+}}$ ，存在一个含有所有 ${\displaystyle X}$  的博雷尔集的Σ-代数 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$  ，且存在唯一的测度${\displaystyle \mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{-\infty ,\,\infty \}}$  使得^[2]

${\displaystyle \Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu }$ 

且（以下的条件称为正则的）

• 对所有 ${\displaystyle X}$  的紧子集 ${\displaystyle K\subseteq X}$  ，${\displaystyle \mu (K)\in \mathbb {R} }$ 。
• 若 ${\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}}$  ，则 ${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,\,U{\text{ is open}}\}}$ 
• 若 ${\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}}$  且 ${\displaystyle \mu (E)\in \mathbb {R} }$  ，则 ${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,\,K{\text{ is compact}}\}}$ 
• 若${\displaystyle O}$  为 ${\displaystyle X}$  的开集，则${\displaystyle \mu (O)=\sup\{\mu (K):K\subseteq O,\,K{\text{ is compact}}\}}$ 

于无穷远处消失的连续函数空间

里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本：

设 ${\displaystyle C_{0}(X)}$  为 ${\displaystyle X}$  上所有在无穷远处消失的连续函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$  所构成的函数空间。

定理：${\displaystyle X}$  是局部紧的豪斯多夫空间。则对有界线性泛函 ${\displaystyle \Lambda :C_{0}(X)\to \mathbb {R} }$ ，存在一个含有所有 ${\displaystyle X}$  的博雷尔集的Σ-代数 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$  ，且存在唯一的正则测度${\displaystyle \mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\,\infty \}}$  使得^[2]

${\displaystyle \Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu }$ 

且 ${\displaystyle \Lambda }$  的范数是 ${\displaystyle \mu }$  的全变差（英语：total variation），即

${\displaystyle \|\Lambda \|=|\mu |(X).}$ 

最后，${\displaystyle \Lambda }$  是正的当且仅当测度 ${\displaystyle \mu }$  是非负的。

注：${\displaystyle C_{c}(X)}$  上的有界线性泛函可唯一地延拓为 ${\displaystyle C_{0}(X)}$ 上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 ${\displaystyle C_{c}(X)}$  上一个无界正线性泛函不能延拓为 ${\displaystyle C_{0}(X)}$  上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
• P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, 埃里克·韦斯坦因. Riesz Representation Theorem. MathWorld. 
• Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces. PlanetMath. 

1. ^ Gray, J. D. The shaping of the riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis. Archive for History of Exact Sciences. 1983-08-15, (31): 127–187 [2023-02-13]. doi:10.1007/BF00348293 –通过Springer. 
2. ^ ^{2.0 2.1} Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGRAW-HILL. 1976. ISBN 978-0070542327.