有界算子

• 任何在两个有限维度赋范空间之间线性算符皆是有界的，且此类算符可以被视为某些固定矩阵的乘积。
• 许多积分变换为有界线性算符。例如，设

${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to {\mathbf {R} }\,}$ 

为一连续函数，则算符L

${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,\,}$ 

（定义于由在${\displaystyle [a,b]\,}$  上的连续函数所组成的空间${\displaystyle C[a,b]\,}$ ，赋予空间${\displaystyle C[c,d]\,}$  均匀范数的值）是有界的。此一算符实际上也是紧致的。紧致算符在有界算符中是很重要的一类。

• 拉普拉斯算符

${\displaystyle \Delta :H^{2}({\mathbf {R} }^{n})\to L^{2}({\mathbf {R} }^{n})\,}$ 

（其定义域为索伯列夫空间，值域在由平方可积函数所组成的空间内）是有界的。

• 在由所有实数序列(x₀, x₁, x₂...)（其中${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$ ）所组成的l² 空间上的位移算符

${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\,}$ 

是有界的。其算符范数可轻易地看出为1。

如开头所述，在赋范空间X 及Y间的线性算子L 是有界的，当且仅当其为连续线性算子。证明如下：

• 设L 是有界的，则对X内的所有向量v 及h（其中的h不为零），会有

${\displaystyle \|L(v+h)-Lv\|=\|Lh\|\leq M\|h\|\,}$ 。

令${\displaystyle {\mathit {h}}\,}$  趋近于零，即可证明L 在v 是连续的。甚至，因为常数M 不依赖v，可证明L 实际上是均匀连续的（更甚之，还是利普希茨连续的）。

• 反过来，在零向量的连续性，允许存在一个${\displaystyle \delta >0}$ ，使得对所有X 内${\displaystyle \|h\|\leq \delta }$  的向量h，${\displaystyle \|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1}$ 。因此，对所有'X 内的非零向量v，会有

${\displaystyle \|Lv\|=\left\Vert {\|v\| \over \delta }L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert ={\|v\| \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert \leq {\|v\| \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|v\|.}$ 

这证明了L 是有界的。

• Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989

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