索博列夫空间

对于数学函数的光滑性有很多种。最基本的要求可能就是函数要连续，更进一步的要求是可微（因为可微函数也是连续的），再强一些的概念是导数的连续性（这些函数称为${\displaystyle C^{1}}$  — 参看光滑函数）。可微函数在很多领域相当重要，特别是在微分方程中。在二十世纪，人们发现${\displaystyle C^{1}}$ 函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。

而索博列夫空间正是${\displaystyle C^{1}}$ 空间的替代品，用于研究偏微分方程的解。

我们从最简单情况下的索博列夫空间开始，也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下，索博列夫空间${\displaystyle W^{k,p}}$ 定义为L^p的子集，使得f和它的直到k阶的导数有一个有限的L^p范数，对于某个给定的p ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中，假设${\displaystyle f^{(k-1)}}$ 是几乎处处可微并且等于其导数的勒贝格积分（这可以排除康托函数这样的例子）就足够了。

按照这个定义，索博列夫空间有一个自然的范数,

${\displaystyle \|f\|_{k,p}={\Big (}\sum _{i=0}^{k}\|f^{(i)}\|_{p}^{p}{\Big )}^{1/p}={\Big (}\sum _{i=0}^{k}\int |f^{(i)}(t)|^{p}\,dt{\Big )}^{1/p}.}$ 

赋予了范数${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p}}$ 的${\displaystyle W^{k,p}}$ 是一个完备空间。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了，也即，如下的范数

${\displaystyle \|f^{(k)}\|_{p}+\|f\|_{p}}$ 

和上述范数等价。

例子

有些索博列夫空间有简单的表述。例如，在一维情况，${\displaystyle W^{1,1}}$ 就是绝对连续函数空间，而W^1,∞是李普希兹函数空间。还有，${\displaystyle W^{k,2}}$ 可以自然地用其傅立叶级数的术语定义，也就是

${\displaystyle W^{k,2}({\mathbb {T} })={\Big \{}f\in L^{2}({\mathbb {T} }):\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+n^{2}+\dotsb +n^{2k})|{\widehat {f}}(n)|^{2}<\infty {\Big \}}}$ 

其中${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 是f的傅立叶级数。和前面一样，可以采用等价的范数

${\displaystyle \|f\|^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+n^{2k})|{\widehat {f}}(n)|^{2}.}$ 

两个表达都可以从帕塞瓦尔定理以及微分等价于傅立叶系数乘以in这个事实导出。这个特殊情况很重要，因此有一个特别的符号，${\displaystyle H^{k}}$ :

${\displaystyle \,H^{k}=W^{k,2}.}$ 

为避免混淆，在讨论不是整数的k的时候，我们通常用s来取代它，也即${\displaystyle W^{s,p}}$ 或者${\displaystyle H^{s}}$ 。

p = 2的情形

p = 2的情形是最简单的情形，因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为

${\displaystyle ||f||_{2,s}^{2}=\sum (1+n^{2s})|{\widehat {f}}(n)|^{2}}$ 

而索博列夫空间${\displaystyle H^{s}}$ 为具有有限范数的函数的空间。

分数阶微分

如果p不是2，就采取类似的方法。在这个情况下帕塞瓦尔定理不再成立，但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法，并且可以推广到非整数阶。因此，可以定义一个分数阶微分的算子其阶为s，如下所示

${\displaystyle F^{s}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(in)^{s}{\widehat {f}}(n)e^{int}}$ 

换句话说，取傅立叶变换，乘以${\displaystyle (in)^{s}}$ 再取逆傅立叶变换（定义为傅立叶－乘法－逆傅立叶的算子称为乘子，这本身也是一个研究主题）。这使得我们可以定义${\displaystyle s,p}$ 的索博列夫范数如下

${\displaystyle \,\Vert f\Vert _{s,p}=\Vert f\Vert _{p}+\Vert F^{s}(f)\Vert _{p}}$ 

而且，跟平常一样，索博列夫空间是有有限索博列夫范数的函数的空间。

复插值

获取“分数索博列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术：对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间X及Y，且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中，我们可以创建“过渡空间”，记为[X,Y]_t。（后面将会讨论到一个不同的方法，所谓的实插值方法，它对于迹的分类的索博列夫理论有重要的意义）。

这样的空间X和Y称为插值对。

下面提一些关于复插值的有用的定理：

定理 (插值): [ [X,Y]_a , [X,Y]_b ]_c = [X,Y]_cb+(1-c)a.

定理 (算子的插值): 若{X,Y}和{A,B}是插值对，并且若T是一个线性映射，定义与X+Y到A+B中，使得T在X到A和Y到B上连续，则T从[X,Y]_t到[A,B]_t上连续。并且有如下的插值不等式：

${\displaystyle ||T||_{[X,Y]_{t}\to [A,B]_{t}}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^{t}.}$ 

参看: Riesz-Thorin定理。

回到索博列夫空间上来，我们要通过对几个${\displaystyle W^{k,p}}$ 的插值得到非整数s的${\displaystyle W^{s,p}}$ 。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果，而我们确实有

定理: ${\displaystyle \left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_{t}=W^{n,p}}$ ，如果n是一个整数使得n=tm。

因此，复插值是一个得到一个空间${\displaystyle W^{k,p}}$ 之间的空间${\displaystyle W^{s,p}}$ 的一个连续统的一致的方法。而且，它给出了和分数阶微分同样的空间（但参看延拓算子中的一个变化）。

现在考虑在Rⁿ及其子集上的索博列夫空间。从圆到线的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将傅立叶级数变为傅立叶变换，将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度，从定义就开始变化。${\displaystyle f^{(k-1)}}$ 是${\displaystyle f^{(k)}}$ 的积分这个条件无法一般化，而最简单的解决办法是考虑分布理论意义下的导数。

由此可以得到一个形式化的定义。令D为Rⁿ中开集。定义索博列夫空间

${\displaystyle \,W^{k,p}(D)}$ 

为定义于D上的函数f的族，使得对于满足下式的每个多重索引${\displaystyle \alpha }$ 

${\displaystyle |\alpha |\leq k}$ 

${\displaystyle f^{(\alpha )}}$ 是一个函数，且

${\displaystyle ||f^{(\alpha )}||_{p}<\infty .}$ 

在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些L^p范数的和。它是完备的，因此是一个巴拿赫空间。

实际上，这个方法在一维也成立，并且和前面分数阶微分中所述并无多大区别。

例子

在多维情况，有些结果不再成立，例如，${\displaystyle W^{1,1}}$ 只包含连续函数。例如，1/|x|属于${\displaystyle W^{1,1}(B^{3})}$ ，其中${\displaystyle B^{3}}$ 是三维的单位球。对于足够大的k，${\displaystyle W^{k,p}(D)}$ 将只包含连续函数，但是对于哪个k才够取决于p以及维数这二者。

但是，W^1,∞和${\displaystyle W^{k,2}}$ 的表述在做了必要的修改之后还是成立的。

索博列夫空间${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ 是${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ 的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的L^p空间包含${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ？索博列夫嵌入定理给出一个简单的表达（参看^[1]）:

定理:令${\displaystyle k,n\in \mathbb {Z} _{>0}}$ 且${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ 。则如下命题成立:

1. 若${\displaystyle {\frac {1}{p}}>{\frac {k}{n}}}$ 则${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})\subseteq L^{\frac {1}{{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}}}(\mathbb {R} ^{n})}$ （作为集合）。而且，包含关系是一个有界算子。
2. 若${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {k}{n}}}$  则所有有紧支撑的函数${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ 是${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ 的元素，其中${\displaystyle q<\infty }$ 。

令s > ½。若X为开集，使得其边界 G"足够光滑"，则我们可以定义映射P的迹（也即，限制)如下

${\displaystyle Pu=u|_{G},}$ 

也即，u限制到边界G上。一个可能的光滑条件是一致${\displaystyle C^{m}}$ ， m ≥ s。 （但是注意，这个矩阵迹没有关系。）

这个迹映射P其定义域为${\displaystyle H^{s}(X)}$ ，而其像正好是${\displaystyle H^{s-1/2}(G)}$ 。如果要完全形式化，P首先定义在无穷可微函数上，并且通过连续性扩展到整个${\displaystyle H^{s}(X)}$ 。注意取迹'失去了半个导数'。

确定${\displaystyle W^{s,p}}$ 的迹映射的像要困难很多，需要使用实插值这个工具，在此不具体讨论。其最后的结果是Besov空间。事实上，在${\displaystyle W^{s,p}}$ 空间的情形，我们不是失去半个导数，我们失去了1/p个导数。

若X是开域，其边界不是太不良（例如，如果其边界为流形，或者满足更宽松但更奇特的“锥条件”）则存在一个算子A将X的函数到Rⁿ的函数，使得：

1. Au(x) = u(x) 对于几乎所有X中的x以及
2. A连续，从${\displaystyle W^{k,p}(X)}$ 到${\displaystyle W^{k,p}({\mathbb {R} }^{n})}$ ，对于任何1 ≤ p ≤ ∞ 以及整数k。

我们称算子A为X的延拓算子。

延拓算子是最自然的定义非整数s的${\displaystyle H^{s}(X)}$ 方法（我们不能直接在X进行，因为取傅立叶变化是一个整体操作）。我们定义${\displaystyle H^{s}(X)}$ 为：u属于${\displaystyle H^{s}(X)}$ 当且仅当Au属于${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ 。等价的有，复插值产生同样的${\displaystyle H^{s}(X)}$ 空间只要X存在一个延拓算子。如果X没有一个延拓算子，复插值是唯一取得${\displaystyle H^{s}(X)}$ 空间的办法。

因此，插值不等式仍然成立。

用零延拓

我们定义${\displaystyle H_{0}^{s}(X)}$ 为无穷可微紧支撑函数的空间${\displaystyle C_{c}^{\infty }(X)}$ 在${\displaystyle H^{s}(X)}$ 中的闭包。给定一个迹的定义如上，我们可以给出如下命题

定理：令X为一致C^m正规空间，m ≥ s并令P为线性映射，将${\displaystyle H^{s}(X)}$ 中的u映射到

${\displaystyle \left.\left(u,{\frac {du}{dn}},...,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}}$ 

其中d/dn是垂直于G的导数，而k是最大的小于s的整数。则${\displaystyle H_{0}^{s}}$ 正好是P的核。

若${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(X)}$ ，我们可以一种自然的方式定义它的零延拓${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}({\mathbb {R} }^{n})}$ ，也就是

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=u(x)}$ 若${\displaystyle x\in X}$ ，否则${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=0}$ 。

定理：令s>½。将u变为${\displaystyle {\tilde {u}}}$ 的映射是到${\displaystyle H^{s}({\mathbb {R} }^{n})}$ 中的连续映射，当且仅当s不是形为n+½（对于某个整数n）。

1. ^ Stein, E.， 《奇异积分和函数的可微性》（Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions），普林斯顿大学出版社 (1970年)。 ISBN 0-691-08079-8