弱解

作为弱解的说明, 考虑一阶波动方程.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad \quad (1)}$ 

(其中的记号请参阅偏导数)其中 u = u(t, x) 是两个实变量的函数. 假设 u 在欧式空间R²上连续可微 , 在方程的两侧同时乘以一个具紧支集的光滑函数 φ 并积分. 得到

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial t}}(t,x)\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial x}}(t,x)\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x=0.}$ 

使用富比尼定理和分部积分, 该方程化为

${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi }{\partial x}}(t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x=0.\quad \quad (2)}$ 

以上的陈述表明:如果 u 连续可微, 方程 (1) 蕴含方程 (2). 弱解概念的关键在于存在函数 u 对任何 φ 满足方程 (2), 而这样的 u 可能不可微, 从而不满足方程 (1). 该方程的一个简单的例子是 u(t, x) = |t − x| . (容易证明 u 满足方程 (2).) 方程 (2) 的解 u 被称作方程 (1) 的弱解.

当求解关于u的偏微分方程时, 可以利用所谓的测试函数 φ, 使得方程中关于 u 的任意阶导数都转化为关于φ的分部积分. 用这样的方法, 可以得到原方程的不必可微的解.

上面的方法不只适用于波动方程. 事实上, 考虑在域Rⁿ上的开集'W'内定义的线性微分算子

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x)}$ 

其中 (α₁, α₂, ..., α_n) 是某有限集Nⁿ上的多维下标变量, 并且系数 ${\displaystyle a_{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n}}${\displaystyle a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}}   关于 x 足够光滑.

乘以紧支集上的光滑测试函数φ, 并作分部积分后, 微分方程 P(x, ∂)u(x) = 0 可以写作

${\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$ 

其中微分算子 Q(x, ∂) 满足

${\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].}$ 

其中

${\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}$ 

总而言之, 如果原(强)问题是找到一个开集 W 上的|α'|阶可微函数 u, 使得

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\mbox{ for all }}x\in W}$ 

(所谓的强解), 那么可积函数 u 被称作弱解如果

${\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$ 

对每个支集W上的光滑函数 φ均成立.

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2