有界变差

设 ${\displaystyle \Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1})}$ ，若一个定义于实数区间 ${\displaystyle [a,b]}$  上的函数${\displaystyle f}$  是有界变差函数，则存在一正数 ${\displaystyle M}$ ，对任意在区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的（有限）分割${\displaystyle P=\{a=x_{0},x_{1},.....,x_{n}=b\}}$  而言，有 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M}$ 。

另一个等价的定义为：定义一个跟函数 ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$  相关的量如下：

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{}\left\{\;\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\,:\,P\in {\mathcal {P}}\right\},\;}$ 

这里的符号 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  代表在闭区间 [a, b] 上所有的（有限）分割。

${\displaystyle f}$ 为有界变差函数当且仅当 ${\displaystyle V_{a}^{b}(f)<\infty }$ 。

其定义可推广至复数域乃至于任何的欧几里德空间上。

• 任意单调函数都是有界变差的。
• 设${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 上满足Lipschitz条件，即存在常数${\displaystyle K>0}$ ，使得对于任意${\displaystyle x',x''}$ ，有${\displaystyle |f(x')-f(x'')|\leq K|x'-x''|}$ ，则${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 上是有界变差的。
• 若${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 上连续，且在区间的内部${\displaystyle (a,b)}$ 可微，若对于任意在${\displaystyle f}$ 定义域${\displaystyle [a,b]}$ 的内部${\displaystyle (a,b)}$ 的点${\displaystyle x}$ 而言，存在一正实数${\displaystyle A}$ 使得${\displaystyle |f'(x)|\leq A}$ ，则${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 上是有界变差的。
• 若${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 上是有界变差的，则${\displaystyle f}$ 在该区间上亦是有界的。
• 若${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 上是有界变差的，则其不连续点的数量是可数的。

• 总变差

• T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.
• http://eom.springer.de/V/v096110.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）