实数的构造

数学里,实数系统可以透过不同方式被定义。其中,基本方法通过一些公理将实数系统定为一个完备的有序数域。通过集合论公理,可以证明基本方法中给定的公理是绝对的,即是说如果有两个模型都符合那些公理,那么这两个模型必然是同构的。这样的模型须是从更基础的对象构建而成的,而多数的模型的建立都是借助于有理数域

基本方法

一个实数系统由一个集合  当中的两个不同元素 0 和 1 , 上的两种二元运算   (分别叫做加法乘法),以及 上的一个二元关系 (即序关系)构成。 而且这个模型符合以下性质:

  1.   是一个。即
    •  (加法与乘法的结合性
    •  (加法与乘法的交换性
    •  (乘法对加法有分配律)
    •  (存在加法单位元
    •  (存在乘法单位元)
    •  (存在加法逆元
    •  (存在乘法逆元)
  2.   是一个全序集。即
    •  (自反性)
    •    ,则有 反对称性
    •   且, ,则有 传递性
    •   (完全关系性)
  3.  上的两个运算  均与序关系 相容。即
    •  ,若  (加法下保持次序)
    •  ,若   ,则 (乘法下保持次序)
  4. 序关系 符合戴德金完备性: 若 的一个非空子集 上界,那么 也有上确界。换言之,
    •   的一个非空子集,而且 有上界,那么 有一上确界 ,使得对 的任何上界 ,均有  

有理数域  符合前三条公理,也就是说 是一个有序域(同时 还满足阿基米德性,所以 是一个阿基米德有序域),但  不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话,它们必然是同构的,所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。

附注:当我们说符合以上公理的两个模型:   是同构时,即是指存在一个保持运算和序的双射。 确切地说存在 满足

  •  是一个双射
  •   .
  •   
  •   当且仅当  

塔斯基实数公理

另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供,只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念:一个称之为实数集的集合(记作 )、一个称之为序的二元关系(记作 )、一个称之为加法的二元运算(记作 )和常数 

序相关公理  

  • 公理一:如果 成立,那么 不成立,即“ ”为非对称关系
  • 公理二:如果 成立,那么存在 使得  同时成立,即“ ”在实数集稠密
  • 公理三: ”满足戴德金完备性,即对所有 ,如果对所有 以及 均满足 ,那么存在 使得对所有 以及 并且有 以及 ,总有  成立。

加法相关公理  

  • 公理四: 
  • 公理五:对所有  ,总存在 满足 
  • 公理六:如果 成立,那么  成立。

常数 相关公理  

  • 公理七: 
  • 公理八: 

模型的具体构造

柯西序列

首先我们需要一个定义。设 是一个有理数列,如果对于任何正有理数 ,存在一个正整数 使得对于所有的整数 ,都有 ,则称 有理数的柯西序列

有理数集 配备上度量 (即一般的绝对值)后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程,可以往度量空间加进新点,从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。

以下说明实数集 可定义为 对于度量 的完备化。(关于 在其他度量下的完备化,参见p进数。)

 为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为:

 
 

运算得到的序列依然会是柯西序列[1]


称两个柯西序列是等价的,如果它们之间的差收敛到0。这样便在 上定义了一个等价关系。以 表示包含序列 的等价类。

 为包含所有等价类的集合,然后也在 上定义加法和乘法:

 
 

同样地,这两个运算是良好定义的。


可以证明 是一个域。我们可以把 嵌入 ——只要把有理数 对应于 便可。

实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的: 称一个实数是正的,即 ,当且仅当存在自然数 和正有理数 ,使得对一切  。称 当且仅当 

较难推导的是 的完备性,具体可以参考[1]

常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列,比如说,  的记法意味着   是柯西序列  的等价类。等式 则断定了序列  是等价的,即它们之间的差收敛到 

 作为 的完备化有一个好处,那就是这种方法并不限于此例;对于其他度量空间也是适用的。

戴德金分割

实数可定义为有理数集上的戴德金分割,即是有理数集的一个划分 ,其中 都非空,而且A的每个元素都小于B的任意元素。为方便起见,不妨把划分 以其下组  来代表,因为给定了   就唯一确定了  。所以直观上,实数 能被 所代表。

具体而言,一个实数   的符合以下条件的一个子集:[2]

  1.   是非空集合
  2.  
  3.   是向下封闭的,即: 
  4.   没有最大元。也就是说,不存在 ,使得对任何  
  •   为所有实数的集合,也就是说它包含了所有 上的戴德金分割。然后在 上定义这样一个全序: 
  • 有理数可以嵌入到 里,透过把  对应于集合 [2] 因为有理数在有理数集内是稠密的,所以这个集合没有最大元,并满足上述的各条件。
  • 加法: [2]
  • 减法:  ,其中  代表  里的补集,即 
  • 负号是减法的特例:  
  • 乘法的定义较不直观:[2]
    •   ,那么 
    •    中有一个是负的,可以透过 这定义式,把 ,  转化为正数的情况,再采用上面的定义来计算。
  • 类似地定义除法为:
    •  ,则 
    •    中有一个是负的,可以借助   的定义式,把  换成非负数,以及把 换成正数,再采用上面的定义来计算。
  • 上确界:如果 的非空子集  有上界的话,那么可以证明 便是其上确界。[2]

以下示范如何以戴德金分割代表根号2:设 [3]

首先,对于任何自乘小于2的正有理数  ,都存在一个大于x的有理数  ,而且有  。选择  便可。所以我们证明了  是一个实数。 要证明 成立,只需指出如果 是小于2的有理数,那么存在正的   ,且  

这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。

小数记法

西蒙·斯蒂文[4] 首先提出了以小数来代表一切数(即现今的实数)的想法。具体地,可以将无限小数展开式作为实数的定义,然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的,再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的,而且它还给出了明确的收敛模英语Modulus of convergence。这种方法不限于十进制,其他的进位制也是适用的。

用小数来构造的好处是,这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是,说明任意模型都同构于这个模型,因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。

超实数

首先,透过超滤子从有理数构造出超有理数域*Q 。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由*Q里所有有界(或者说有限)元素所组成的环BB 有着唯一的极大理想 I,即无穷小量。商环 B/I 给出了实数域  。 注意B 并不是*Q的一个内在集合。 此外,这种构造在自然数集上使用了非主超滤子,而其存在性是依赖于选择公理的。

这个极大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。

超现实数

每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域(意味着没有实数是无穷大量)。这种嵌入方式并不是唯一的,尽管有标准的一种方式。

透过整数集(欧多克索斯实数)

一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。[5][6][7] 这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。[8] Shenitzer[9]和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。

 为一函数,若然 是有限集,则称f殆同态。称两个殆同态 几乎相等的,如果集合 是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类,可简单记为[f]。实数的加法,对应于殆同态的加法运算;实数的乘法,则对应于殆同态的复合运算。最后,称 ,若  是有界的,或者  上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。

参见

  • 数学结构主义#实分析中的例子

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 The Real Numbers (PDF). [2014-06-30]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Pugh, Charles Chapman. Real Mathematical Analysis. New York: Springer. 2002: 11–15 [2014-06-28]. ISBN 0-387-95297-7. (原始内容存档于2013-11-14). 
  3. ^ Hersh, Reuben. What is Mathematics, Really?. New York: Oxford University Press US. 1997: 274. ISBN 0-19-513087-1. 
  4. ^ Karin Usadi Katz and Mikhail G. Katz (2011) Stevin Numbers and Reality. Foundations of Science. doi:10.1007/s10699-011-9228-9 Online First. [1][永久失效链接]
  5. ^ R.D. Arthan. The Eudoxus Real Numbers. arXiv:math/0405454 . 
  6. ^ Norbert A'Campo. A natural construction for the real numbers. arXiv:math/0301015 . 
  7. ^ Ross Street. Update on the efficient reals (PDF). September 2003 [2010-10-23]. (原始内容存档 (PDF)于2011-05-14). 
  8. ^ IsarMathLib. [2014-06-28]. (原始内容存档于2020-10-01). 
  9. ^ Shenitzer, A. (1987) A topics course in mathematics. The Mathematical Intelligencer 9, no. 3, 44--52.