戴德金分割

根据戴德金分割中${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle A'}$ 是否有最大数、最小数，可以将戴德金分割分为三种类型：

1. ${\displaystyle A}$ 中有最大数，${\displaystyle A'}$ 中无最小数
2. ${\displaystyle A}$ 中无最大数，${\displaystyle A'}$ 中有最小数
3. ${\displaystyle A}$ 中无最大数，${\displaystyle A'}$ 中无最小数

可以证明，“${\displaystyle A}$ 中有最大数，${\displaystyle A'}$ 中有最小数”的情况并不存在。证明如下：

如果${\displaystyle A}$ 有最大数${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle A'}$ 有最小数${\displaystyle b}$ ，则根据分割的定义可知 ${\displaystyle a<b}$ 。但是 ${\displaystyle (a+b)/2}$  显然也是有理数，并且 ${\displaystyle a<(a+b)/2<b}$ ，因此 ${\displaystyle (a+b)/2}$  既不在 ${\displaystyle A}$  中, 也不在 ${\displaystyle A'}$  中，这就与 ${\displaystyle A\cup A'}$  是全体有理数矛盾。

第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种“空隙”（${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle A'}$ 之间的界数），这个“空隙”所对应的数既不属于${\displaystyle A}$ ，也不属于${\displaystyle A'}$ ，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数。

作为一个直观的理解，我们可以把上面三种分化分别看成 ${\displaystyle (-\infty ,d]\cup (d,+\infty )}$ 、${\displaystyle (-\infty ,d)\cup [d,+\infty )}$  和 ${\displaystyle (-\infty ,d)\cup (d,+\infty )}$ ，而“${\displaystyle A}$ 中有最大数、${\displaystyle A'}$ 中有最小数”的情况就是 ${\displaystyle (-\infty ,d]\cap [d,+\infty )}$ ，中间的分割点d同时（不合法地）属于两边集合。

1. 将所有小于或等于0的有理数划分为集合${\displaystyle A}$ ，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合${\displaystyle A'}$ ，则${\displaystyle A|A'}$ 是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第1种情形。
2. 将所有小于0的有理数划分为集合${\displaystyle A}$ ，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合${\displaystyle A'}$ ，则${\displaystyle A|A'}$ 是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第2种情形。
3. 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ,a\leq 0,a^{2}\leq 3}$ 的数）划分到集合${\displaystyle A}$ ，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合${\displaystyle A'}$ ，则${\displaystyle A|A'}$ 是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第3种情形，此时戴德金分割${\displaystyle A|A'}$ 定义了无理数${\displaystyle {\sqrt[{}]{3}}}$ 。

假设无理数${\displaystyle \alpha }$ 由分划${\displaystyle A|A'}$ 所确定，无理数${\displaystyle \beta }$ 由分划${\displaystyle B|B'}$ 所确定，则

1. 若集合${\displaystyle A=B}$ 或${\displaystyle A'=B'}$ ，则称无理数${\displaystyle \alpha }$ 与${\displaystyle \beta }$ 相等，记为${\displaystyle \alpha =\beta }$ 。
2. 若集合${\displaystyle A\supset B}$ （${\displaystyle A\neq B}$ ），则称无理数${\displaystyle \alpha }$ 大于${\displaystyle \beta }$ ，记为${\displaystyle \alpha >\beta }$ 。

无理数小于（${\displaystyle <}$ ）的概念可由大于（${\displaystyle >}$ ）的概念定义，即${\displaystyle \beta <\alpha }$ 当且仅当${\displaystyle \alpha >\beta }$ 。如此得到实数系的大小关系，其性质有：

1. 任意实数${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ，必有且只有下列关系式之一成立：${\displaystyle \alpha =\beta ,\alpha >\beta ,\alpha <\beta }$ 。
2. 传递性：若实数${\displaystyle \alpha >\beta ,\beta >\gamma }$ ，则${\displaystyle \alpha >\gamma }$ 。对于小于（${\displaystyle <}$ ）的情形，传递性同样成立。

所以该大小关系是全序关系。

• 无理数
• 实数的构造

• 菲赫金哥尔茨; 杨弢亮 译; 叶彦谦 译; 郭思旭 校. 微积分学教程（第一卷） 第8版. 高等教育出版社. : 5–6. ISBN 5-9221-0436-5.