阿基米德公理

抽象代数分析学中,以古希腊数学家阿基米德命名的公理,是一些赋范的代数结构具有的一个性质,可表述如下:

对于任何正实数 ,即使 多么小,或是 多么大,也必定存在自然数 ,使得

这公理的粗略意义是,数字系统不存在具有无穷大无穷小性质的元素。

这个概念源于古希腊对的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五,1883年,奥地利数学家奥托·施托尔茨英语Otto Stolz赋予它这个名字[1]

在现代实分析中,这性质不是一个公理,而是退却为实数具完备性的结果。基于这理由,常以性质的叫法取而代之。

此性质在现代数学中,仍然起着重要的作用,例如有关有序群有序域局部域的理论,以及大卫·希尔伯特的几何公理系统。

形式叙述以及证明

解释

简单地说,阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句:

  1. 给出任何数,你总能够挑选出一个整数大过原来的数。
  2. 给出任何正数,你总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。

这等价于说,对于任何实数  ,如果 ,则存在自然数 ,有

 

与实数的完备性的关系

实数的完备性蕴含了阿基米德性质,证明利用了反证法

假设对所有  (注意 表示  相加),令 ,则  的上界( 上方有界,依实数完备性,必存在最小上界,令其为 ),于是 

 

得出 也是 的一个上界,这与 是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质,但阿基米德性质推不出实数的完备性,因为有理数满足阿基米德性质,但并不是完备的。

参看

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Archimedes Axiom. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-05]. (原始内容存档于2021-04-29) (英语).