阿基米德公理

解释

简单地说，阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句：

1. 给出任何数，你总能够挑选出一个整数大过原来的数。
2. 给出任何正数，你总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。

这等价于说，对于任何正实数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ ，如果${\displaystyle a<b}$ ，则存在自然数${\displaystyle n}$ ，有

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ terms}}}>b}$ 

与实数的完备性的关系

实数的完备性蕴含了阿基米德性质，证明利用了反证法：

假设对所有${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle na<b}$ （注意${\displaystyle na}$ 表示${\displaystyle n}$ 个${\displaystyle a}$ 相加），令${\displaystyle S=\{na|n=1,2,3,...\}}$ ，则${\displaystyle b}$ 为${\displaystyle S}$ 的上界（${\displaystyle S}$ 上方有界，依实数完备性，必存在最小上界，令其为${\displaystyle \alpha }$ ），于是${\displaystyle \forall n=1,2,3,...}$ 有

${\displaystyle na<\alpha \Rightarrow (n+1)a<\alpha \Rightarrow na<\alpha -a}$ 

得出${\displaystyle \alpha -a}$ 也是${\displaystyle S}$ 的一个上界，这与${\displaystyle \alpha }$ 是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质，但阿基米德性质推不出实数的完备性，因为有理数满足阿基米德性质，但并不是完备的。

1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Archimedes Axiom. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-05]. （原始内容存档于2021-04-29） （英语）.