非对称关系

一个定义于 ${\displaystyle X}$  上的二元关系 ${\displaystyle R}$  是 ${\displaystyle X\times X}$  的任何子集。给定 ${\displaystyle a,b\in X}$ ，我们将 ${\displaystyle (a,b)\in R}$  简写为 ${\displaystyle aRb}$ ，读作“${\displaystyle a}$  至 ${\displaystyle b}$  存在关系 ${\displaystyle R}$ （${\displaystyle a}$  is related to ${\displaystyle b}$  by ${\displaystyle R}$ ）”。

如果对于所有 ${\displaystyle a,b\in X}$ ，若 ${\displaystyle aRb}$ ，则 ${\displaystyle b\not Ra}$ （也就是 ${\displaystyle (a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R}$  ），则我们称 ${\displaystyle R}$  是非对称的。以一阶逻辑的形式可以写成：

一个逻辑等价的定义如下：对于所有 ${\displaystyle a,b\in X}$ ，${\displaystyle aRb}$  与 ${\displaystyle bRa}$  中至少有一为假。以一阶逻辑的形式可以写成：

非对称关系的一个例子是定义于实数上的“小于关系”，亦即 ${\displaystyle R=\{(a,b)\ |\ a<b\}}$ 。由于当 ${\displaystyle a}$  小于 ${\displaystyle b}$  时，${\displaystyle b}$  一定不小于 ${\displaystyle a}$ ，因此 ${\displaystyle R}$  是非对称的。另一方面，“小于等于关系”则不是非对称的，因为当 ${\displaystyle a=b}$  时，${\displaystyle a\leq b}$  和 ${\displaystyle b\leq a}$  会同时成立，不符合非对称关系的定义。

非对称关系不代表对称关系的相反，上述的“小于等于关系”既不是非对称关系，也不是对称关系；而“空关系（${\displaystyle R=\emptyset }$ ）”是唯一同时是非对称关系，也是对称关系的关系。

非对称关系（Asymmetric）与反对称关系（Antisymmetric）的差异在于：反对称关系容许自反性，${\displaystyle (a,a)}$  可以属于 ${\displaystyle R}$ ，而非对称关系不允许。如上述的“小于等于关系”即是反对称关系的一例。

• 一个关系为非对称的，当且仅当该关系为反对称且非自反的^[2]。
• 对于一个非对称关系 ${\displaystyle R}$ ，对其施加限制或求其逆关系后，该关系同样是非对称的。例如，由“${\displaystyle <}$ ”定义的关系是非对称关系（若 ${\displaystyle a<b}$  则 ${\displaystyle b\not <a}$ ），若将集合从实数限缩至整数，该关系同样是非对称的；求该关系的逆关系“${\displaystyle >}$ ”，该逆关系同样是非对称的。
• 一个递移关系为非对称的，当且仅当该关系为非自反的^[3]：若存在 ${\displaystyle aRb}$  且 ${\displaystyle bRa}$  使得该关系不是非对称，则由递移性可得到 ${\displaystyle aRa}$ ，使得该关系同样不是非自反关系。
• 一个关系为递移性的且非对称的，当且仅当该关系为严格偏序的。
• 一个非对称关系不一定是全关系。例如，由“严格子集”定义的关系是非对称关系（若 ${\displaystyle A\subset B}$  则 ${\displaystyle B\not \subset A}$ ），但不是全关系（${\displaystyle \{1,2\}\not \subset \{3,4\}}$  又 ${\displaystyle \{3,4\}\not \subset \{1,2\}}$ ）。

• 反对称关系
• 对称关系