基数 (数学)

康托尔在1874年－1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时，首次引入基数概念。 他最先考虑的是集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$ 和${\displaystyle \{2,3,4\}}$ ，它们并非相同，但有相同的基数。骤眼看来，这是显而易见，但究竟何谓两个集合有相同数目的元素？

康托尔的答案，是通过所谓的一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到，两个集合的基数自然相同。这答案，容易理解但却是革命性的，因为用相同的方法即可比较任意集合的大小，包括无穷集合。

最先被考虑的无穷集合是自然数集${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,...\}}$ 及其无限子集。他把所有与${\displaystyle \mathbb {N} }$ 能一一对应的集为可数集。令康托尔意外的是，原来${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的所有无限子集都能与${\displaystyle \mathbb {N} }$ 一一对应。他把${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的基数称为${\displaystyle \aleph _{0}}$ ，是最小的艾礼富数。

康托尔发现，原来有理数集合与代数数集合也是可数的。于是乎在1874年初，他尝试证明是否所有无限集合均是可数，其后他得出了实数集不可数的结论。原先的证明用到了涉及区间套的复杂论证，而在他1891年的论文中，他以简单而巧妙的对角论证法重新证明了这一结果。实数集的基数，记作c，代表连续统。

接着康托尔构作一个比一个大的集合，得出一个比一个大的基数，而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论，需要一个新的语言描述，这就是康托尔发明集合论的主因。

康托尔随后提出连续统假设：c就是第二个超穷基数${\displaystyle \aleph _{1}}$ ，即継${\displaystyle \aleph _{0}}$ 之后最小的基数。现已知这假设是不能证明的，即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。

在非正式使用中，基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于${\displaystyle 0}$ 的自然数（就是${\displaystyle 0,1,2,\ldots }$ ）。计数可以形式化地定义为有限基数，而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。

更正式地，一个非零的数可以用于两个目的：描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有正好大小的集合，比如3描述了${\displaystyle c}$ 在序列${\displaystyle a,b,c,d,...}$ 中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合${\displaystyle \{a,b,c\}}$ 。但是在处理无限集合的时候，在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面会引申出序数的概念，而大小则被这里描述的基数所广义化。

在基数的形式定义背后的直观想法是，可以构造一个记号来指明集合的相对大小，而不需理会它有哪些种类的成员。对于有限集合这是容易的；只需简单的数算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小，得借助更加巧妙的概念。

一个集合${\displaystyle Y}$ 至少等大小于（或称大于等于）一个集合${\displaystyle X}$ ，如果有从${\displaystyle X}$ 到${\displaystyle Y}$ 的一个单射（一一映射）。一一映射对集合${\displaystyle X}$ 的每个元素确定了一个唯一的集合${\displaystyle Y}$ 的元素。通过例子就最易理解了；假设有集合${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ 和${\displaystyle Y=\{a,b,c,d\}}$ ，我们可以注意到有一个映射：

${\displaystyle 1\to a}$ 

${\displaystyle 2\to b}$ 

${\displaystyle 3\to c}$ 

这是一对一的，使用上述的大小概念，我们因此总结出${\displaystyle Y}$ 有大于等于${\displaystyle X}$ 的势。注意元素${\displaystyle d}$ 没有元素映射到它，但这是允许的，因为我们只要求一一映射，而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。

我们可以把这个概念扩展到一个类似于等式的关系。两个集合${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 被称为有相同的'势'，如果存在${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 之间的双射。通过Schroeder-Bernstein定理，这等价于有从${\displaystyle X}$ 到${\displaystyle Y}$ 和从${\displaystyle Y}$ 到${\displaystyle X}$ 的两个一一映射。我们接着记之为 ${\displaystyle |X|=|Y|}$ 。${\displaystyle X}$ 的基数自身经常被定义为有着 ${\displaystyle |a|=|X|}$  的最小序数${\displaystyle a}$ 。这叫做冯·诺伊曼基数指派；为使这个定义有意义，必须证明所有集合都有同某个序数一样的势；这个陈述就是良序原理。然而即使不给集合的势指派一个名字，讨论集合之间相对的势还是可以的。

一个经典例子是无限旅馆悖论，也叫做希尔伯特旅馆悖论。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满，而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2，房间2的客人转移到房间3，以此类推，腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段：

${\displaystyle 1\longleftrightarrow 2}$ 

${\displaystyle 2\longleftrightarrow 3}$ 

${\displaystyle 3\longleftrightarrow 4}$ 

...

${\displaystyle n\longleftrightarrow n+1}$ 

...

在这种方式下我们可以看出集合${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$ 和集合${\displaystyle \{2,3,4,...\}}$ 有相同的势，因为已知这两个集合之间存在双射。这便给"无限集合"提供了一个合适的定义，即是与自身某个真子集有着相同的势的任何集合；在上面的例子中${\displaystyle \{2,3,4,...\}}$ 是${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$ 的真子集。

当我们考虑这些大对象的时候，我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事实上是不一致的；通过考虑上面的例子，我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在，它必须跟起初的无限集合有一样的势。这时候可以使用另一种称为序数的形式概念，它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们会发现，势和序（ordinality）的概念对于无限的情况是有分歧的。

可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。透过对角论证法可以一目了然；跟势相关的经典问题（比如连续统假设）主要关注在某一对无限基数之间是否有别的基数。现时数学家已经在描述更大更大基数的性质。

因为基数是数学中如此常用的概念，有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势、均势或等多（equipotence, equipollence, equinumerosity）。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的（equipotent, equipollent, equinumerous）。

首先，给出集合${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ ，我们称${\displaystyle X}$ 的势小于等于${\displaystyle Y}$ ，记作 ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ ，当且仅当存在由${\displaystyle X}$ 到${\displaystyle Y}$ 的单射；称${\displaystyle X}$ 的势与${\displaystyle Y}$ 相等，记作 ${\displaystyle |X|=|Y|}$ ， 当且仅当存在由${\displaystyle X}$ 到${\displaystyle Y}$ 的双射（即一一对应）。

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出如果 ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$  及 ${\displaystyle |Y|\leq |X|}$  则 ${\displaystyle |X|=|Y|}$ 。

假设选择公理，所有集合都可良序，且对于所有集合${\displaystyle X}$ 与${\displaystyle Y}$ ，有 ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$  或 ${\displaystyle |Y|\leq |X|}$ 。因此，我们可以定义序数，而 集合${\displaystyle X}$ 的基数则是与${\displaystyle X}$ 等势的最小序数${\displaystyle \alpha }$ 。

（若不接受选择公理，我们也可对非良序集${\displaystyle X}$ 定义基数，就是所有与${\displaystyle X}$ 等势的集的阶中下确界。）

有限集的基数

自然数的一种定义是${\displaystyle 0=\{\},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots ,N=\{0,1,\ldots ,N-1\}}$ 。可以见到，与数${\displaystyle N}$ 等势的集必有${\displaystyle N}$ 个元素。如集合${\displaystyle \{2,3,5\}}$ 的基数为${\displaystyle 3}$ 。

以下是有限集的三个等价定义：它与某自然数等势；它只有一个等势的序数，就是它的基数；它没有等势的真子集。

无限集的基数

最小的无限集合是自然数集。${\displaystyle \{1,2,3,4,\ldots ,n,\ldots \}}$ 与${\displaystyle \{2,4,6,8,\ldots ,2n,\ldots \}}$ 基数相同，因为可以让前一集合的${\displaystyle n}$ 与后一集合的${\displaystyle 2n}$ 一一对应。从这个例子可以看出，对于一个无穷集合来说，它可以和它的一个真子集有相同的基数。

以下是无限集的四个等价定义：它不与任何自然数等势；它有超过一个等势的序数；它有至少一个真子集和它等势；存在由自然数集到它的单射。

我们可在基数上定义若干算术运算，这是对自然数运算的推广。

给出集合${\displaystyle X}$ 与${\displaystyle Y}$ ，定义 ${\displaystyle X+Y=\{(x,0):x\in X\}\cup \{(y,1):y\in Y\}}$ ，则基数和是

${\displaystyle |X|+|Y|=|X+Y|}$ 。

若${\displaystyle X}$ 与${\displaystyle Y}$ 不相交，则 ${\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|}$ 。

基数积是

${\displaystyle |X||Y|=|X\times Y|}$ 

其中${\displaystyle X\times Y}$ 是${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 的笛卡儿积。

基数指数是

${\displaystyle |X|^{|Y|}=|X^{Y}|}$ 

其中${\displaystyle X^{Y}}$ 是所有由${\displaystyle Y}$ 到${\displaystyle X}$ 的函数的集合。

在有限集时，这些运算与自然数无异。一般地，它们亦有普通算术运算的性质：

• 加法和乘法是可交换的，即 ${\displaystyle |X|+|Y|=|Y|+|X|}$  及 ${\displaystyle |X||Y|=|Y||X|}$ 
• 加法和乘法符合结合律，${\displaystyle (|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)}$ 及 ${\displaystyle (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)}$ 
• 分配律，即 ${\displaystyle (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|}$ 。
• ${\displaystyle |X|^{|Y|+|Z|}=|X|^{|Y|}|X|^{|Z|}}$ 
• ${\displaystyle |X|^{|Y||Z|}=(|X|^{|Y|})^{|Z|}}$ 
• ${\displaystyle (|X||Y|)^{|Z|}=|X|^{|Z|}|Y|^{|Z|}}$ 

无穷集合的加法及乘法（假设选择公理）非常简单。若${\displaystyle X}$ 与${\displaystyle Y}$ 皆非空而其中之一为无限集，则

${\displaystyle |X|+|Y|=|X||Y|=\max\{|X|,|Y|\}}$ 

注意${\displaystyle 2^{|X|}}$ 是${\displaystyle X}$ 的幂集之基数。由对角论证法可知${\displaystyle 2^{|X|}>|X|}$ ，是以并不存在最大的基数。事实上，基数的类是真类。

还有些关于指数的性质：

• ${\displaystyle |X|^{0}=1}$ （特别地，${\displaystyle 0^{0}=1}$ ）。
• ${\displaystyle 0^{|Y|}=0}$ ，若${\displaystyle Y}$ 非空。
• ${\displaystyle 1^{|Y|}=1}$ 。
• 若${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ ，则 ${\displaystyle |X|^{|Z|}\leq |Y|^{|Z|}}$ 。
• 若 ${\displaystyle |X|}$  和 ${\displaystyle |Y|}$  俱有限且大于1，而${\displaystyle Z}$ 是无穷集，则 ${\displaystyle |X|^{|Z|}=|Y|^{|Z|}}$ 。
• 若X是无穷而${\displaystyle Y}$ 是有限及非空，则 ${\displaystyle |X|^{|Y|}=|X|}$ 。

对每一个基数，存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是${\displaystyle \aleph _{0}}$ ，康托尔称下一个为${\displaystyle \aleph _{1}}$ ，相类似的，还定义了如下一个序列：${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\ldots ,\aleph _{n}\ldots }$ 。

注意${\displaystyle c=2^{\aleph _{0}}}$ 。连续统假设猜想，就是${\displaystyle c=\aleph _{1}}$ 。

连续统假设是与一般集论公理（即Zermelo-Fraenkel公理系统加上选择公理）是独立的。

更一般的假设，即${\displaystyle \aleph _{n+1}=2^{\aleph _{n}}}$ 。

广义连续统假设，就是对所有无穷基数${\displaystyle \aleph }$ ，都不存在介乎${\displaystyle \aleph }$ 与${\displaystyle 2^{\aleph }}$ 之间的基数。