朗兰兹纲领

我们可以二次互反律之推广阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点： 给定一个Q上的、伽罗瓦群为可交换群的数域，阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L函数，并断言：此等L-函数俱等于某些 狄利克雷L函数（黎曼ζ函数的类推，由狄利克雷特征表达）。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。

若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示，我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L函数。

朗兰兹洞察到：当找到适当的狄利克雷L-函数的推广，便有可能推广阿廷互反律。

赫克（Erich Hecke）曾联系全纯自守形式（定义于上半复平面上、满足某些函数方程的全纯函数）与狄利克雷L函数。朗兰兹推广赫克理论，以应用于自守尖点表示（自守尖点表示是Q-阿代尔环上一般线性群 GL_n 的某类无限维不可约表示）。

朗兰兹为这些自守表示配上L-函数，然后猜想：

互反猜想. 每一来自给定数域的伽罗瓦群的有限维表示的阿廷 L-函数，都相等于某一来自自守尖点表示的L-函数。

若要建立一一对应，须考虑较伽罗瓦群的适当扩张，称作韦依-德利涅群。在可交换的例子，这相当于将狄利克雷特征推广为赫克特征（德文旧称 Größencharakter）。互反猜想蕴含阿廷猜想。

朗兰兹再进一步推广：

• 以任何连通约化群 G 代替上文中的一般线性群 GL_n；
• 构筑复李群 ^LG（所谓朗兰兹对偶群，或L群）；
• 以自守表示的L包代替自守表示；每个L包是自守表示组成的有限集，属同一L包的表示称作L不可辨的。
• 向每一个 G的自守尖点表示和每一个 ^LG的有限维表示，配与一个L-函数；同一L包中的表示有相同的 L-函数及 ${\displaystyle \epsilon }$ -因子。朗兰兹并猜想 （页面存档备份，存于互联网档案馆）：此两个 L-函数满足某函数方程。

朗兰兹更构想了一道非常广泛的函子性原则（Functoriality Principle （页面存档备份，存于互联网档案馆））：

函子性猜想. 若指定二约化群，并指定其相应的L群之间的可容许同态，则二约化群的自守表示之间应该有某种与其 L-函数相容之关系。

函子性猜想蕴含广义拉马努金猜想。

函子性构想本质上是一种诱导表示构造（在传统的自守形式理论中称为提升，在某些特殊情况下已知），因而是协变的（相反地，受限表示构造是逆变的）。各种直接构造的尝试只产生了一些条件性的结果。

上述各猜想亦有其他域上的版本：数域（最早期的版本）、局部域及函数域（即F_p(t)的有限扩张； 其中p 是一 素数 ， F_p(t) 是 p 元有限域上的有理函数域）。局部域的与数域的朗兰兹纲领满足一些相容性，二者之方法亦互为用。

朗兰兹纲领建基于当时已存在的念头：盖尔范德之前几年写的 《尖点形式之启示》（The Philosophy of Cusp Forms）；哈瑞希·昌得拉（Harish-Chandra）研究 半单李群 的结果和方法；而技术上则有塞尔伯格等的塞尔伯格迹公式。

朗兰兹的创见，除技术之深以外，在于他提出上述理论与数论的直接联系，以及其构想中丰富的总体结构（即所谓函子性者也）。

例如在哈瑞希·昌得拉的工作中，我们可见以下原则：

“任何对某一半单（或约化）李群可能做的，应对所有都做。”

故一旦认清一些低维李群 —如 GL₂ —在模形式理论之角色，并反观 GL₁ 在类域论之角色，我们至少可推测一般 GL_n 的情况。

尖点形式之念头来自模曲线上的尖点，在谱理论上对应于离散谱；对比之下连续谱则来自艾森斯坦级数。但当给定的李群越大，则抛物子群越多，技术上则越复杂。

在此等研究途径中不乏各种技巧——通常基于列维分解等事实、具诱导表示的性质 ——但这领域一直都很困难。

在模形式方面，亦有例如希尔伯特模形式、 西格尔模形式 和 theta-级数等等面向。

内窥（英语：Endoscopy）意谓“在一般共轭中窥见稳定共轭”；共轭意谓群的共轭作用 ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$ ；稳定共轭则意谓可取 ${\displaystyle g\in G({\bar {F}})}$ ；稳定共轭类可分解为有限个一般共轭类。稳定共轭与一般共轭之别造成上述的L-不可辨性。

亚瑟-塞尔伯格迹公式是处理函子性猜想及志村簇的哈瑟-韦伊ζ函数之利器。在技术上，我们需要一稳定迹公式，稳定化有赖于将 ${\displaystyle G}$  之一般轨道积分表成内窥群上的稳定轨道积分。内窥理论旨在配对群及其内窥群的轨道积分，称作内窥传递；其关键则是所谓的基本引理。

内窥传递不仅是工具，也涵摄函子性猜想的一些特例。

数域上的朗兰兹纲领可以翻译到几何的框架，大略步骤如下：

1. 以紧黎曼曲面 ${\displaystyle C}$  的亚纯函数域取代数域
2. 以基本群取代伽罗瓦群
3. 以局部系统取代伽罗瓦表示
4. 以秩 n 向量丛的模空间 ${\displaystyle \mathrm {Bun} _{n/C}}$  取代 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Q} )\backslash \mathrm {GL} (n,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })/K}$ 
5. 以反常层取代自守形式
6. 以赫克本征层取代赫克本征形式

几何化朗兰兹纲领与规范场论

2006年，爱德华·威滕和 Anton Kapustin 建议：

• 以D-模演绎赫克本征层；
• 以磁单极演绎赫克算子。

外部链接

• Edward Frenkel, Recent Advances in the Langlands Program
• Edward Frenkel, Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Anton Kapustin, Edward Witten, Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Geometric Langlands Seminar （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Geometric Langlands Program

部分朗兰兹纲领的项目已经完成。

• GL_n 关于局部域的部分：由Michael Harris 和 Richard Taylor 合作完成^[3]；Henniart^[4]亦导出了一较简短的证明。
• 关于 GL_n 关于函数域上的部分：1999年洛朗·拉福格证明之[1] Archive.is的存档，存档日期2012-12-05。

洛朗·拉福格凭其在函数域上的工作获得2002年菲尔兹奖。拉福格的工作延续了较早期的德林费尔德得菲尔兹奖（1990）的研究。数域方面只有一些特例被证明了，有些是朗兰兹自己完成的。皮特·舒尔策也因在“动机理论”和朗兰兹纲领这两个代数几何学的大方向上有杰出贡献而于2018年获得菲尔兹奖。

• Corvallis Proceedings (1979) （页面存档备份，存于互联网档案馆） A.Borel, W. Casselman（编辑）, AMS, ISBN 0-8218-3371-2（网上书，免费）
• Stephen Gelbart: An Elementary Introduction to the Langlands Program, Bulletin of the AMS v.10 no. 2 April 1984.
• J. Arthur （页面存档备份，存于互联网档案馆）：The Principle of Functoriality; pp.39-53, No. 1, Volume 40, Bulletin of the AMS; October, 2002.
• Edward Frenkel: Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, hep-th/0512172 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• J. Bernstein, S. Gelbart, An Introduction to the Langlands Program, ISBN 3764332115
• Summer School, Toronto,June 2003 （页面存档备份，存于互联网档案馆）-- Audio and notes
• Conference, Princeton, 2005 -- Video
• Michèle Vergne, All what I wanted to know about Langlands program and was afraid to ask （页面存档备份，存于互联网档案馆），2006.

1. ^ Robert Langlands' work - functoriality. sunsite.ubc.ca. [2021-09-22]. （原始内容存档于2021-02-24）. 
2. ^ Math Quartet Joins Forces on Unified Theory. Quanta. December 8, 2015 [2019-05-31]. （原始内容存档于2021-01-22）. 
3. ^ Harris, M. and Taylor, R.: The Geometry and Cohomology of Some Simple Shimura Varieties. (AM-151).. web.archive.org. 2006-09-01 [2021-09-22]. 原始内容存档于2006-09-01. 
4. ^ http://www.springerlink.com/content/h5yfh3x99xr5hgm1/^{[永久失效链接]}