塞尔伯格迹公式

设 ${\displaystyle X}$  为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面 ${\displaystyle \mathbb {H} }$  对 ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$  的某离散子群 ${\displaystyle \Gamma }$  的商。

${\displaystyle X\ =\ \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ 

考虑 ${\displaystyle X}$  上的拉普拉斯算子

${\displaystyle \Delta \ u(x,y)\ =\ y^{2}\left(\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\,\right)u(x,y)}$ 

由于 ${\displaystyle X}$  为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的特征值 ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\ldots }$  至多可数

${\displaystyle -\ \Delta \ u_{n}(x,y)\ =\ \lambda _{n}\ u_{n}(x,y)}$ 

事实上，更可将其由小至大排列：

${\displaystyle 0=\lambda _{0}<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots }$ 

对应的特征函数 ${\displaystyle u_{n}(x,y)\in C^{\infty }(\mathbb {H} )}$ ，并满足以下周期条件： ${\displaystyle \forall \ \gamma \ \in \ \Gamma \ ,\quad u_{n}(\gamma z)\ =\ u_{n}(z)}$ 

行变元代换 ${\displaystyle \lambda _{n}\ =\ s_{n}(1-s_{n})\ ,\quad s_{n}\ =\ {\frac {1}{2}}\ +\ i\,r_{n}}$ 

于是特征值可依 ${\displaystyle r_{n},\quad n\ \geq \ 0}$  排列。

塞尔伯格迹公式写作

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (F)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\,\tanh(\pi r)\,dr\ +\ \sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{1/2}-N(T)^{-1/2}}}\ g(\log N(T))}$ 

和式中的 ${\displaystyle \{T\}}$  取遍所有双曲共轭类。所取函数 ${\displaystyle h}$  须满足下述性质：

• 在带状区域 ${\displaystyle \vert \Im \mathrm {m} (r)\vert \leq 1/2+\delta }$  上为解析函数，在此 ${\displaystyle \delta >0}$  为某常数。
• 偶性：${\displaystyle h(-r)=h(r)}$ 。
• 满足估计：${\displaystyle \vert h(r)\vert \leq M\ \left(1+\vert \Re \mathrm {e} (r)\vert ^{-2-\delta }\ \right)}$ ，在此 ${\displaystyle M>0}$  为某常数。

函数 ${\displaystyle g}$  是 ${\displaystyle h}$  的傅里叶变换：

${\displaystyle h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)\ e^{iru}\ du}$ 。

为了计算赫克算子作用于尖点形式上的迹，出现了 Eichler-塞尔伯格迹公式。志村五郎后来采取的方法省去了迹公式中的分析技巧。抛物上同调也为非紧黎曼曲面与模曲线的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后，${\displaystyle X=\Gamma \backslash \mathbb {H} }$  为紧的情形可藉阿蒂亚-辛格指标定理处理，然而，一旦取 ${\displaystyle \Gamma }$  为算术子群，便不免要处理非紧的情形。

在1960年代，塞尔伯格迹公式由苏联的盖尔芳特学派、普林斯顿大学的 Harish-Chandra（हरीश चन्द्र）、罗伯特·郎兰兹与日本的洼田富男接手推动。非紧情形的连续谱是郎兰兹发展艾森斯坦级数理论的动机之一。拉普拉斯算子与赫克算子的迹公式表明了赋值向量环之妙用。

亚瑟-塞尔伯格迹公式适用于一般的半单群（或约化群）。此公式的一侧称为谱侧，与群的表示相关；另一侧称为几何侧，与函数之轨道积分相关。群表示通常带有重要的数论信息，而轨道积分则较容易操作。亚瑟-塞尔伯格迹公式是证明郎兰兹函子性猜想的重要进路之一。

• 叶扬波《模形式与迹公式》，北京大学出版社，2001年。 （英文） Matthew R. Watkins, Selberg trace formula and zeta functions （页面存档备份，存于互联网档案馆）