赋值向量环

数论中,赋值向量环阿代尔环法文:adèle,英译多用原文)是由一个 的所有完备化构成的拓扑环 ,原域 可以对角方式嵌入其中。

在现代代数数论中,赋值向量环是处理整体问题的基本语言。

法文原文 adèleidèle additif 的缩写,其中 idèle 意指理想元(élément idéal)。adèle 也是法文中常见的女性名字。

定义

 整体域,例如有理数 、一般的数域函数域   等等。设   为其中的代数整数环。对于所有   上的赋值  (又称),可定义相应的完备化  。在此,通常将赋值分为有限与无限两类:

  • 有限赋值:一一对应于  素理想,两两不相等价。其中的赋值环记为  
  • 无限赋值  上的阿基米德赋值。对于数域,无限赋值系由域的嵌入   给出,两个嵌入   给出等价赋值的充要条件是其间至多差一个复共轭: 。无限赋值的个数有限。

有时也以素理想的惯用符号   表示赋值,并以   表示   为无穷赋值。

定义

 

上式的积称为限制积,这是   的子环,我们要求对其中的每个元素  ,存在包含所有无穷赋值的有限集  ,使得  。赋予   相应的子空间拓扑,是为赋值向量环

  的拓扑由在   点的一组局部基确定,可取下述形式之开集:

 

其中   是函括所有无限赋值的有限集,   的开子集。根据吉洪诺夫定理可知  局部紧拓扑环,这是采限制积定义的原因之一。

性质

  • 对角嵌入   的像落在  ,可证明   构成   的离散子集,而商群   是紧群。
  • 固定   的任一特征标  ,则任何特征标   皆可唯一地表示成  ,是故加法群   是其自身的对偶群。这是在赋值向量环上开展调和分析的关键之一。

应用

赋值向量环主要用于代数数论中。对于   上的代数群  ,可考虑其上的   。由于代数群总是线性的(换言之,可嵌入  ),  可以具体设想为系数布于环   上的线性群,并带有自然的拓扑结构。

最简单的情形是  ,此时   称为 idèle 群,这是整体类域论的基石。在郎兰兹纲领中,须考虑更广泛的代数群,以描述数域绝对伽罗瓦群

文献

  • J. W. S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Number Theory ISBN 0-12-163251-2