赋值向量环

设 ${\displaystyle F}$  为整体域，例如有理数域 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 、一般的数域或函数域 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$  等等。设 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$  为其中的代数整数环。对于所有 ${\displaystyle F}$  上的赋值 ${\displaystyle v}$ （又称位），可定义相应的完备化 ${\displaystyle F_{v}}$ 。在此，通常将赋值分为有限与无限两类：

• 有限赋值：一一对应于 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$  的素理想，两两不相等价。其中的赋值环记为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$ 。
• 无限赋值：${\displaystyle F}$  上的阿基米德赋值。对于数域，无限赋值系由域的嵌入 ${\displaystyle \alpha :F\to \mathbb {C} }$  给出，两个嵌入 ${\displaystyle \alpha ,\beta :F\to \mathbb {C} }$  给出等价赋值的充要条件是其间至多差一个复共轭：${\displaystyle \alpha ={\bar {\beta }}}$ 。无限赋值的个数有限。

有时也以素理想的惯用符号 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  表示赋值，并以 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid \infty }$  表示 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  为无穷赋值。

定义

${\displaystyle \mathbb {A} _{F}:={\prod _{v}}'F_{v}}$ 

上式的积称为限制积，这是 ${\displaystyle \Pi _{v}F_{v}}$  的子环，我们要求对其中的每个元素 ${\displaystyle (\alpha _{v})_{v}}$ ，存在包含所有无穷赋值的有限集 ${\displaystyle S}$ ，使得 ${\displaystyle v\notin S\Rightarrow \alpha _{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}$ 。赋予 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$  相应的子空间拓扑，是为赋值向量环。

${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$  的拓扑由在 ${\displaystyle 0}$  点的一组局部基确定，可取下述形式之开集：

${\displaystyle (\prod _{v\in S}U_{v})\times (\prod _{v\notin S}{\mathcal {O}}_{v})}$ 

其中 ${\displaystyle S}$  是函括所有无限赋值的有限集，${\displaystyle U_{v}\ni 0}$  是 ${\displaystyle F_{v}}$  的开子集。根据吉洪诺夫定理可知 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$  为局部紧拓扑环，这是采限制积定义的原因之一。

• 对角嵌入 ${\displaystyle F\to \Pi _{v}F_{v}\quad (\alpha \mapsto (\alpha )_{v})}$  的像落在 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ ，可证明 ${\displaystyle F}$  构成 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$  的离散子集，而商群 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}/F}$  是紧群。

• 固定 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$  的任一特征标 ${\displaystyle \psi \neq 1}$ ，则任何特征标 ${\displaystyle \psi '}$  皆可唯一地表示成 ${\displaystyle \psi '(x)=\psi (ax)\quad (a\in \mathbb {A} _{F})}$ ，是故加法群 ${\displaystyle (\mathbb {A} _{F},+)}$  是其自身的对偶群。这是在赋值向量环上开展调和分析的关键之一。

赋值向量环主要用于代数数论中。对于 ${\displaystyle F}$  上的代数群 ${\displaystyle G}$ ，可考虑其上的 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}-}$ 点 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$ 。由于代数群总是线性的（换言之，可嵌入 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ），${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$  可以具体设想为系数布于环 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$  上的线性群，并带有自然的拓扑结构。

最简单的情形是 ${\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}$ ，此时 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})=\mathbb {A} _{F}^{\times }}$  称为 idèle 群，这是整体类域论的基石。在郎兰兹纲领中，须考虑更广泛的代数群，以描述数域的绝对伽罗瓦群。

• J. W. S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Number Theory ISBN 0-12-163251-2