庞特里亚金对偶性

数学上,特别是在调和分析拓扑群的理论中,庞特里雅金对偶定理解释了傅里叶变换的一般性质。它统合了实数线上或有限阿贝尔群上的一些结果,如:

  • 实数线上够“好”的复数值周期函数能表成傅里叶级数,反之也能从傅里叶级数推出原函数。
2进整数相互关系图示,它们是庞特里亚金对偶性群英语Prüfer group的元素。
  • 实数线上够“好”的复数值函数有傅里叶变换;一如周期函数,在此也能从其傅里叶变换反推出原函数。

此理论由庞特里亚金(Lev Pontryagin)首开,并结合了约翰·冯·诺伊曼安德烈·韦伊哈尔测度理论,它依赖于局部紧阿贝尔群的对偶群理论。

哈尔测度

一个拓扑群 被称作局部紧的,当且仅当其单位元e有个紧邻域。明白地说,这代表存在一个包含e的开集 ,使得它在 里的闭包 是紧的。局部紧群 最值得注意的性质之一是它带有一个唯一的自然测度,称作哈尔测度,这使得我们可以一致地为 中“够好”的子集测量大小;在此“够好”的明确意义是博雷尔集,即由紧集生成的σ-代数。更明确地说,局部紧群 的一个右哈尔测度是指一个有限可加的博雷尔测度μ,并在 的意义下满足“右不变性”;此测度尚须满足一些正则性(详见主条目哈尔测度)。任两个右不变哈尔测度至多差一个正的比例常数。准此要领,亦可定义左不变哈尔测度,当 是阿贝尔群时两者符应。

此测度让我们得以定义 上的复数值博雷尔函数的积分,特别是可以考虑相关的 空间:

 

以下是局部紧阿贝尔群的若干例子:

  •  ,配上向量加法。
  • 正实数配上乘法。此群透过指数及对数映射同构于 
  • 任意赋以离散拓扑的有限阿贝尔群。根据有限阿贝尔群的结构定理,任何这样的群都是循环群的直积。
  • 整数 配上加法,并赋予离散拓扑。
  • 圆群 。这是绝对值为一的复数在乘法下构成的群。我们有同构 
  • p进数配上加法及其p进拓扑。

对偶群

 是局部紧致阿贝尔群, 特征标是一个从 到圆群 的连续群同态;特征标在逐点乘法下构成一个群,一个特征标的逆元是它的复共轭。可证明所有 上的特征标在紧致开拓扑(即:以紧集上的一致收敛定义收敛性)下构成一个局部紧致阿贝尔群,称作对偶群,记为  。若 可分,则 可度量化,对一般的 则不尽然。

这可用线性代数中的对偶空间来类比,就像一个布于 的向量空间 有对偶空间 ,对偶群可看成 。更抽象的说,这两者都是可表函子,被  所表示。

定理:二次对偶  有个自然同构。

在此,“自然”或“典范”同构意谓一个“自然地”定义的映射 ,要点是它在范畴中满足函子性(详见条目范畴论)。举例明之:任何有限阿贝尔群都同构于其对偶群,但并不存在典范同构。

定理中的自然同构定义如下:

 

换言之,我们借着将一个元素 在每个 的特征上求值,得到一个 上的特征。

例子

在整数对加法形成的无穷循环群  (配上离散拓扑)上,设χ为一特征,则 ,因此χ决定于χ(1)的值;反之,给定一个 ,必存在特征χ使得χ(1)=α,由此得到群同构 。此外也容易验证 上的紧-开拓扑对应到 诱导自 的拓扑。

因此, 的对偶群自然地同构于 

反之, 上的特征皆形如 ,其中n是整数。由于 是紧的,其对偶群上的拓扑由一致收敛性给出,对应的不外是 上的离散拓扑。因此 的对偶群自然地同构于 

实数对加法构成的群 同构于自身的对偶群; 上的特征皆形如 ,其中r是实数。借着这些对偶性,下节描述的傅里叶变换将符应于 上的古典版本。

傅里叶变换

对于一个局部紧阿贝尔群 ,傅里叶变换的值域是其对偶群。设 ,则其傅里叶变换是下述 上的函数:

 

其中μ是 上的一个哈尔测度。可以证明  上的有界连续函数,且在无穷远处趋近零。同理可给出 的傅里叶逆变换

 

其中ν是 上的一个哈尔测度。

群代数

局部紧阿贝尔群 上的可积函数构成一个代数,其乘法由卷积给出:设 ,则卷积定义为

 

定理:巴拿赫空间 在卷积下构成一个交换结合代数。

此代数称作 群代数。根据 的完备性,它是个巴拿赫空间。巴拿赫代数 一般没有乘法单位元,除非 离散。但它有个近似单位元,这是个,以一有向集 为索引,写作 并满足下述性质。

 

傅里叶变换将卷积映至逐点乘法,即:

 

特别是,对任意 上的特征χ,可在群代数上定义一积性线性泛函

 

群代数的重要性质之一,在于这些线性泛函穷竭了群代数上所有非平凡(即:非恒零)的积性线性泛函。见文献中Loomis著作的第34节。

普朗歇尔暨傅里叶反转定理

如前所述,一个局部紧阿贝尔群 的对偶群依然是局部紧阿贝尔群,因而带有一族哈尔测度,彼此至多差一个比例常数。

定理:对偶群上存在一个哈尔测度,使得傅里叶变换在紧支集连续函数空间上的限制为等距同构。它可以唯一地延拓为一个幺正算子。

 

其中 是对偶群上既取的哈尔测度。

注意到:若 非紧, 并不包含 ,所以我们须诉诸一些技巧,例如限制于一个稠密子空间。

依循Loomis书中术语,我们称一对 与其对偶群上的哈尔测度 相系的,当且仅当傅里叶反转公式成立。傅里叶变换之幺正性遂蕴含:对所有 上的连续紧支集复数值函数 都有

 

在平方可积函数空间上,我们考虑的傅里叶变换是透过上述幺正延拓得到的算子。对偶群本身也有个傅里叶逆变换;它可以刻划为傅里叶变换之逆(或其伴随算子,因为傅里叶变换是幺正的),这是以下傅里叶反转公式的内涵。

定理:取定一对相系哈尔测度 ;对于傅里叶变换在紧支集连续函数上的限制,其伴随算子是傅里叶逆变换:

 
  •  的情形,我们有 ,若取下述相系的哈尔测度,则回到傅里叶变换的古典定义:
 (勒贝格测度)
 (勒贝格测度)
  •  的情形,对偶群 自然同构于 ,而上述算子 归于计算周期函数的傅里叶系数。
  •  为有限群,则得到离散傅里叶变换。此情形易直接证明。

玻尔紧化

庞特里亚金对偶定理的重要应用之一是下述刻划:

定理:一个局部紧阿贝尔群 为紧,当且仅当对偶群 为离散。另一方面, 为离散当且仅当 为紧。

对任何拓扑群,无论局部紧或交换与否,皆可定义玻尔紧化。上述对偶性的用处之一是刻划局部紧阿贝尔群的玻尔紧化。对一个局部紧阿贝尔群 ,考虑拓扑群 ,其中 就群结构而言是 ,但带离散拓扑。由于下述包含映射

 

是个连续同态,其对偶同态

 

是个映至一个紧群的同态;可以证明它满足定义玻尔紧化的泛性质,因而 确为 的玻尔紧化。

范畴论观点

函子的观点对于研究对偶群是很有用的。以下将以LCA表示所有局部紧阿贝尔群及其间的连续群同态构成之范畴

对偶群的构造 给出一个对偶函子 。其二次迭代 遂给出函子 

定理:对偶函子是一个范畴等价。

定理:对偶函子的二次迭代自然同构于LCA上的恒等函子。

此同构可以类比于有限维向量空间的二次对偶(特别是实与复向量空间)。

庞特里亚金对偶性将离散群与紧群的子范畴交换。若 是一个,而 是个左 -模,则从对偶性可推知离散左 -模与紧右 -模对偶。LCA里的自同态环 依对偶性对应至其反环(即:环的乘法次序交换)。举例明之:取 ,则 ;前者满足 ,对后者亦然。

非交换理论

对非交换群 没有类似的理论,因为此时对偶的对象 ={ 的不可约表示之同构类}不只有一维表示,因此不构成一个群。在范畴论中类似的推广称作Tannaka-Krein对偶定理;但它缺乏与调和分析的联系,因而无法处理关于 上的普朗歇尔测度的问题。

某些非交换群的对偶理论以C*-代数的语言表述。

源流

庞特里亚金在1934年为局部紧阿贝尔群及其对偶性的理论奠下基础。他的进路须假定群是第二可数的,并且是紧群或离散群。此条件先后由E.R. van Kampen(1935年)与安德鲁·韦伊(1953年)改进为局部紧阿贝尔群。

文献

下列书籍(可在大部分大学图书馆找到)都有局部紧阿贝尔群、对偶定理与傅里叶变换的相关章节。Dixmier的著作有非交换调和分析的材料,也有英译本。

  • Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
  • Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
  • Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
  • Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968(2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000)。
  • Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.