庞特里亚金对偶性

一个拓扑群${\displaystyle G}$ 被称作局部紧的，当且仅当其单位元e有个紧邻域。明白地说，这代表存在一个包含e的开集${\displaystyle V}$ ，使得它在${\displaystyle G}$ 里的闭包${\displaystyle {\bar {V}}}$ 是紧的。局部紧群${\displaystyle G}$ 最值得注意的性质之一是它带有一个唯一的自然测度，称作哈尔测度，这使得我们可以一致地为${\displaystyle G}$ 中“够好”的子集测量大小；在此“够好”的明确意义是博雷尔集，即由紧集生成的σ-代数。更明确地说，局部紧群${\displaystyle G}$ 的一个右哈尔测度是指一个有限可加的博雷尔测度μ，并在${\displaystyle \mu (xg)=\mu (x)\;(\forall g\in G)}$ 的意义下满足“右不变性”；此测度尚须满足一些正则性（详见主条目哈尔测度）。任两个右不变哈尔测度至多差一个正的比例常数。准此要领，亦可定义左不变哈尔测度，当${\displaystyle G}$ 是阿贝尔群时两者符应。

此测度让我们得以定义${\displaystyle G}$ 上的复数值博雷尔函数的积分，特别是可以考虑相关的${\displaystyle L^{p}}$ 空间：

${\displaystyle L_{\mu }^{p}(G)=\left\{f:G\rightarrow \mathbb {C} :\int _{G}|f(x)|^{p}\,d\mu (x)<\infty \right\}}$ 

以下是局部紧阿贝尔群的若干例子：

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ，配上向量加法。
• 正实数配上乘法。此群透过指数及对数映射同构于${\displaystyle \mathbb {R} }$ 。
• 任意赋以离散拓扑的有限阿贝尔群。根据有限阿贝尔群的结构定理，任何这样的群都是循环群的直积。
• 整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 配上加法，并赋予离散拓扑。
• 圆群${\displaystyle \mathbb {T} }$ 。这是绝对值为一的复数在乘法下构成的群。我们有同构${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ 。
• p进数配上加法及其p进拓扑。

若${\displaystyle G}$ 是局部紧致阿贝尔群，${\displaystyle G}$ 的特征标是一个从${\displaystyle G}$ 到圆群${\displaystyle \mathbb {T} }$ 的连续群同态；特征标在逐点乘法下构成一个群，一个特征标的逆元是它的复共轭。可证明所有${\displaystyle G}$ 上的特征标在紧致开拓扑（即：以紧集上的一致收敛定义收敛性）下构成一个局部紧致阿贝尔群，称作对偶群，记为${\displaystyle {\hat {G}}}$ 或${\displaystyle G^{\wedge }}$ 。若${\displaystyle G}$ 可分，则${\displaystyle {\hat {G}}}$ 可度量化，对一般的${\displaystyle G}$ 则不尽然。

这可用线性代数中的对偶空间来类比，就像一个布于${\displaystyle K}$ 的向量空间${\displaystyle V}$ 有对偶空间${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,K)}$ ，对偶群可看成${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )}$ 。更抽象的说，这两者都是可表函子，被${\displaystyle K}$ 及${\displaystyle \mathbb {T} }$ 所表示。

定理：二次对偶${\displaystyle G^{\wedge \wedge }}$ 与${\displaystyle G}$ 有个自然同构。

在此，“自然”或“典范”同构意谓一个“自然地”定义的映射${\displaystyle G\rightarrow G^{\wedge \wedge }}$ ，要点是它在范畴中满足函子性（详见条目范畴论）。举例明之：任何有限阿贝尔群都同构于其对偶群，但并不存在典范同构。

定理中的自然同构定义如下：

${\displaystyle x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}{\mbox{ i.e. }}x(\chi ):=\chi (x)}$ 。

换言之，我们借着将一个元素${\displaystyle x\in G}$ 在每个${\displaystyle G}$ 的特征上求值，得到一个${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的特征。

在整数对加法形成的无穷循环群${\displaystyle \mathbb {Z} }$  （配上离散拓扑）上，设χ为一特征，则${\displaystyle \chi (n)=\chi (1)^{n}}$ ，因此χ决定于χ(1)的值；反之，给定一个${\displaystyle \alpha \in \mathbb {T} }$ ，必存在特征χ使得χ(1)=α，由此得到群同构${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\wedge }{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\mathbb {T} }$ 。此外也容易验证${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\wedge }}$ 上的紧-开拓扑对应到${\displaystyle \mathbb {T} }$ 诱导自${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的拓扑。

因此，${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的对偶群自然地同构于${\displaystyle \mathbb {T} }$ 。

反之，${\displaystyle \mathbb {T} }$ 上的特征皆形如${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ ，其中n是整数。由于${\displaystyle \mathbb {T} }$ 是紧的，其对偶群上的拓扑由一致收敛性给出，对应的不外是${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 上的离散拓扑。因此${\displaystyle \mathbb {T} }$ 的对偶群自然地同构于${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。

实数对加法构成的群${\displaystyle \mathbb {R} }$ 同构于自身的对偶群；${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的特征皆形如${\displaystyle r\mapsto e^{ir}}$ ，其中r是实数。借着这些对偶性，下节描述的傅里叶变换将符应于${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的古典版本。

对于一个局部紧阿贝尔群${\displaystyle G}$ ，傅里叶变换的值域是其对偶群。设${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ，则其傅里叶变换是下述${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的函数：

${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\;d\mu (x)}$ 

其中μ是${\displaystyle G}$ 上的一个哈尔测度。可以证明${\displaystyle {\hat {f}}}$ 是${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的有界连续函数，且在无穷远处趋近零。同理可给出${\displaystyle g\in L^{1}({\hat {G}})}$ 的傅里叶逆变换

${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\;d\nu (\chi )}$ 

其中ν是${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的一个哈尔测度。

局部紧阿贝尔群${\displaystyle G}$ 上的可积函数构成一个代数，其乘法由卷积给出：设${\displaystyle f,g\in L^{1}(G)}$ ，则卷积定义为

${\displaystyle [f\star g](x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\,d\mu (y)}$ 。

定理：巴拿赫空间${\displaystyle L^{1}(G)}$ 在卷积下构成一个交换结合代数。

此代数称作${\displaystyle G}$ 的群代数。根据${\displaystyle L^{1}(G)}$ 的完备性，它是个巴拿赫空间。巴拿赫代数${\displaystyle L^{1}(G)}$ 一般没有乘法单位元，除非${\displaystyle G}$ 离散。但它有个近似单位元，这是个网，以一有向集${\displaystyle I}$ 为索引，写作${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ 并满足下述性质。

${\displaystyle f\star e_{i}\rightarrow f}$ 。

傅里叶变换将卷积映至逐点乘法，即：

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f\star g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi )}$ 。

特别是，对任意${\displaystyle G}$ 上的特征χ，可在群代数上定义一积性线性泛函

${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi )}$ 。

群代数的重要性质之一，在于这些线性泛函穷竭了群代数上所有非平凡（即：非恒零）的积性线性泛函。见文献中Loomis著作的第34节。

如前所述，一个局部紧阿贝尔群${\displaystyle G}$ 的对偶群依然是局部紧阿贝尔群，因而带有一族哈尔测度，彼此至多差一个比例常数。

定理：对偶群上存在一个哈尔测度，使得傅里叶变换在紧支集连续函数空间上的限制为等距同构。它可以唯一地延拓为一个幺正算子。

${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\rightarrow L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})}$ 

其中${\displaystyle \nu }$ 是对偶群上既取的哈尔测度。

注意到：若${\displaystyle G}$ 非紧，${\displaystyle L^{1}(G)}$ 并不包含${\displaystyle L^{2}(G)}$ ，所以我们须诉诸一些技巧，例如限制于一个稠密子空间。

依循Loomis书中术语，我们称一对${\displaystyle G}$ 与其对偶群上的哈尔测度${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ 是相系的，当且仅当傅里叶反转公式成立。傅里叶变换之幺正性遂蕴含：对所有${\displaystyle G}$ 上的连续紧支集复数值函数${\displaystyle f}$ 都有

${\displaystyle \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}|{\widehat {f}}(\chi )|^{2}\ d\nu (\chi )}$ 

在平方可积函数空间上，我们考虑的傅里叶变换是透过上述幺正延拓得到的算子。对偶群本身也有个傅里叶逆变换；它可以刻划为傅里叶变换之逆（或其伴随算子，因为傅里叶变换是幺正的），这是以下傅里叶反转公式的内涵。

定理：取定一对相系哈尔测度${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ ；对于傅里叶变换在紧支集连续函数上的限制，其伴随算子是傅里叶逆变换：

${\displaystyle L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})\rightarrow L_{\mu }^{2}(G)}$ 

• 在${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ 的情形，我们有${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n}}$ ，若取下述相系的哈尔测度，则回到傅里叶变换的古典定义：

${\displaystyle \mu =(2\pi )^{-n/2}\times }$ （勒贝格测度）

${\displaystyle \nu =(2\pi )^{-n/2}\times }$ （勒贝格测度）

• 在${\displaystyle G=\mathbb {T} }$ 的情形，对偶群${\displaystyle {\hat {G}}}$ 自然同构于${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ，而上述算子${\displaystyle F}$ 归于计算周期函数的傅里叶系数。
• 若${\displaystyle G}$ 为有限群，则得到离散傅里叶变换。此情形易直接证明。

庞特里亚金对偶定理的重要应用之一是下述刻划：

定理：一个局部紧阿贝尔群${\displaystyle G}$ 为紧，当且仅当对偶群${\displaystyle {\hat {G}}}$ 为离散。另一方面，${\displaystyle G}$ 为离散当且仅当${\displaystyle {\hat {G}}}$ 为紧。

对任何拓扑群，无论局部紧或交换与否，皆可定义玻尔紧化。上述对偶性的用处之一是刻划局部紧阿贝尔群的玻尔紧化。对一个局部紧阿贝尔群${\displaystyle G}$ ，考虑拓扑群${\displaystyle {\hat {H}}}$ ，其中${\displaystyle H}$ 就群结构而言是${\displaystyle {\hat {G}}}$ ，但带离散拓扑。由于下述包含映射

${\displaystyle \iota :H\rightarrow {\widehat {G}}}$ 

是个连续同态，其对偶同态

${\displaystyle G\sim {\widehat {\widehat {G}}}{\rightarrow }{\widehat {H}}}$ 

是个映至一个紧群的同态；可以证明它满足定义玻尔紧化的泛性质，因而${\displaystyle {\hat {H}}}$ 确为${\displaystyle G}$ 的玻尔紧化。

函子的观点对于研究对偶群是很有用的。以下将以LCA表示所有局部紧阿贝尔群及其间的连续群同态构成之范畴。

对偶群的构造${\displaystyle G\mapsto {\hat {G}}}$ 给出一个对偶函子${\displaystyle \mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} ^{\mathrm {op} }}$ 。其二次迭代${\displaystyle G\mapsto G^{\wedge \wedge }}$ 遂给出函子${\displaystyle \mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} }$ 。

定理：对偶函子是一个范畴等价。

定理：对偶函子的二次迭代自然同构于LCA上的恒等函子。

此同构可以类比于有限维向量空间的二次对偶（特别是实与复向量空间）。

庞特里亚金对偶性将离散群与紧群的子范畴交换。若${\displaystyle R}$ 是一个环，而${\displaystyle G}$ 是个左${\displaystyle R}$ -模，则从对偶性可推知离散左${\displaystyle R}$ -模与紧右${\displaystyle R}$ -模对偶。LCA里的自同态环${\displaystyle \mathrm {End} (G)}$ 依对偶性对应至其反环（即：环的乘法次序交换）。举例明之：取${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ ，则${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {T} }$ ；前者满足${\displaystyle \mathrm {End} (G)=\mathbb {Z} }$ ，对后者亦然。

对非交换群${\displaystyle G}$ 没有类似的理论，因为此时对偶的对象${\displaystyle {\hat {G}}}$ ={${\displaystyle G}$ 的不可约表示之同构类}不只有一维表示，因此不构成一个群。在范畴论中类似的推广称作Tannaka-Krein对偶定理；但它缺乏与调和分析的联系，因而无法处理关于${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的普朗歇尔测度的问题。

某些非交换群的对偶理论以C*-代数的语言表述。

庞特里亚金在1934年为局部紧阿贝尔群及其对偶性的理论奠下基础。他的进路须假定群是第二可数的，并且是紧群或离散群。此条件先后由E.R. van Kampen（1935年）与安德鲁·韦伊（1953年）改进为局部紧阿贝尔群。

下列书籍（可在大部分大学图书馆找到）都有局部紧阿贝尔群、对偶定理与傅里叶变换的相关章节。Dixmier的著作有非交换调和分析的材料，也有英译本。

• Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
• Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
• Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
• Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968（2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000）。
• Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.