特征标理论

设V为一个域F上的有限维向量空间且设${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ 为一个群G于V上的表示。则ρ的特征标即为如下给定之函数

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\mathrm {Tr} (\rho (g))\,}$ 

其中${\displaystyle \mathrm {Tr} }$ 为矩阵的迹数。

一个特征标χ_ρ若被称为是不可约的，即表示ρ是一个不可约表示。若被称为是线性的，则表示ρ的维度等于1。χ_ρ的核为集合

${\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace }$ 

其中${\displaystyle \chi _{\rho }(1)}$ 是χ_ρ在群单位元上的值。当ρ是G的k维表示且1为G的单位元时，

${\displaystyle \chi _{\rho }(1)=\operatorname {Tr} (\rho (1))=\operatorname {Tr} {\begin{bmatrix}1&&0\\&\ddots &\\0&&1\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}1=k=\dim \rho }$ 

和特征标群的情况不同，一个群的特征标通常不会自己“形成”一个群。

在调和分析中，通常定义局部紧阿贝尔拓扑群 ${\displaystyle G}$  的特征标为连续群同态 ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {S} ^{1}}$ ；在此，${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$  表示单位圆构成的群，等价地说就是 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ 。

部分作者将特征标的定义放宽为连续群同态 ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ，而将取值在 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$  者称作么特征标。其他人则保留原初定义，而将这类广义的特征标称为拟特征标。

${\displaystyle G}$  的全体特征标构成一个群 ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ，群二元运算的定义是 ${\displaystyle (\chi \cdot \eta )(g)=\chi (g)\to \eta (g)}$ ，称为对偶群。庞特里雅金对偶性总结了对偶群的一般性质。

• 特征标是一个类函数，即为对一个共轭类内的所有元素来说，χ会是个常数。

• 两个同构的表示会有相同的特征标。若系数域的特征char(F)=0，则两个表示为同构的，当且仅当它们有着完全相同的特征标。

• 若一个表示可以是多个子表示的直和：${\displaystyle V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus \cdot \oplus W_{r}}$ ，则其相对应的特征标会是其所有子表示的特征标之和：${\displaystyle \forall g\in G,\ \chi _{V}(g)=\chi _{W_{1}}(g)+\chi _{W_{2}}(g)+\cdot +\chi _{W_{r}}(g)}$ 。

• 在有限群的情况下，每个特征标${\displaystyle \chi \ (g)}$ 都是n个m次单位根之和，其中n为表示内域的维度，m则是g的阶。

• 若F是代数封闭的且char(F)不可以整除G的阶|，则G的不可约特征标之数量等于G的共轭类数： ${\displaystyle |Irr(G)|=|Conj(G)|}$ 。

算术性质

令${\displaystyle \rho }$ 和${\displaystyle \sigma }$ 为G的两个表示，则有下列的等式成立：

${\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }}$ 

${\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}$ 

${\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}}$ 

${\displaystyle \chi _{{\textrm {Alt}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$ 

${\displaystyle \chi _{{\textrm {Sym}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$ 

其中${\displaystyle \rho \oplus \sigma }$ 为两者的直和、${\displaystyle \rho \otimes \sigma }$ 为两者的张量积、${\displaystyle \rho ^{*}}$ 为${\displaystyle \rho }$ 的共轭转置、以及Alt称为交替积${\displaystyle {\textrm {Alt}}^{2}\rho =\rho \wedge \rho }$ 而Sym则称为对称方，其值由下式决定

${\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho }$ .

设 ${\displaystyle G}$  为有限群，${\displaystyle H\leq G}$  为其子群，而 ${\displaystyle \rho }$  为 G 的表示，其特征标记为 ${\displaystyle \chi }$ 。令 ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )}$  为诱导表示 ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\rho )}$  的特征标；根据弗罗贝尼乌斯互反定理，对所有 ${\displaystyle G}$  的特征标 ${\displaystyle \eta }$ ，恒有下述等式

${\displaystyle \langle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi ),\eta \rangle _{G}=\langle \chi ,\eta |_{H}\rangle _{H}}$ 

此等式可用来刻划类函数 ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )}$ 。事实上，若选定陪集分解

${\displaystyle G=\bigcup _{t}Ht}$ 

还可以明确地写下 ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )}$  的取值：

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )(g)={\begin{cases}\sum _{tht^{-1}\in H}\chi (tht^{-1}),{\mbox{ if g is conjugate to some h}}\in H\\0,{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}$ 

一个有限群的不可约特征标可以形成一个特征标表，其蕴含着许多有关群G在紧致形式时的有用资讯。每一行标记着一个不可约特征标且包含着此一特征标在每个G的共轭类上的值。

下面是有三个元素之循环群C₃的特征标表：

其中的u为一个原三次单位根。

特征标表总会是正方的，因为不可约表示的数目总会相等于共轭类的数目。特征标表的第一个行总会是1，其对应至群的当然表示上。

正交关系

有关特征标表最重要的性质之一为其在行与列上都会有着正交关系。

对特征标(即对特征标表中的行)的内积由下给出：

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}}$  其中 ${\displaystyle {\overline {\chi _{j}(g)}}}$  表示 ${\displaystyle \chi _{j}}$ 在g上的值的复数共轭。

对于此一内积而言，不可约特征标两两正规正交： ${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\text{如 果 }}\,i\neq j\\1&{\text{如 果 }}\,i=j\end{cases}}}$ 

对表中的列的正交关系则由下列给出：

对${\displaystyle g,h\in G}$ ，其和为${\displaystyle {\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}1/\left|C_{G}(g)\right|&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 共 軛 }}\\0&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 不 共 軛 }}\end{cases}}}$ 

其中相加的范围为所有G的不可约特征标${\displaystyle \chi _{i}}$ ，而符号${\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}$ 则表示为g的共轭类之大小。

此一正交关系可以帮助许多的运算，如：

• 将一个未知特征标分解成不可约特征标的线性组合。
• 当只有一些不可约特征标为可知时，建构其完整的特征标表。
• 求出群的共轭类的表示的中心化子的阶。
• 求出群的阶。

特征标表性质

一个群G的某些性质可以由其特征表中推导出来：

• G的阶就是表上所有特征标之在1上的取值的平方：(χ(1))²的总和（伯恩赛德公式）。
• G是可换的当且仅当对每个在表上的特征标，χ(1) = 1。
• G有一个非当然正规子群(即G不是一个简单群)当且仅当对于某些表上的非当然特征标χ和一些于G内的非单位元素g，会有χ(1) = χ(g)。

特征标表通常不会将群分至同构：例如，四元群Q和有8个元素的二面体群D₄会有同样的特征标表。

对有限群之特别例子，详见有限群表示理论。

一维表示的特征标会形成一个特征标群，其和数论中有着很重要的关连。

• Fulton, William; and Harris, Joe. Representation Theory, A First Course. Springer, New York. 1991.   见第2章
• Isaacs, I.M. Character Theory of Finite Groups. Dover. 1994. ISBN 978-0-486-68014-9.  1976年原版的修正重印版，由Academic Press所出版
• James, Gordon; and Liebeck, Martin. Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. 2001.  
• http://planetmath.org/encyclopedia/Character.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 化学中重要的点群的特征标表 - 列出了大多数的点群并其在化学中使用之符号的特征标表。