四元群

在群论里，四元群是指一个8目的不可换群。它常被标示为Q，且被写成乘法的形式，以下列的8个元素

Q的环图。每一种颜色代表连结至单位元(1)之任一元素的次方。例如，红色的环反映了i²=−1、i³=−i和i⁴=1的事实。红环亦反映了(−i)²=−1、(−i)³=i和(−i)⁴=1之事实。

Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

这里，1是单位元素，(−1)² = 1且对每个Q内的a，(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的关系获得：

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$

Q的凯莱表如下：

需注意的是，此一群为非可换的；如ij=−ji。Q有着汉弥尔顿群较不常见的性质：每一个Q的子群都是其正规子群，但这个群不是可换的。每一个汉弥尔顿群都会含有一个或多个Q。

在抽象代数里，可以造出一个其基底为{1,i,j,k}的实四维向量空间，且使用上面的乘法表和分配律来形成一个结合代数。其即为一个称为四元数的除环。需注意的是，这并不是在Q上的群代数(其应该是8维的)。相反地，亦可以先由四元数开始，再“定义”出由八个元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所组成之乘法子群做为四元群。

i、j和k都是Q内4目的元素且选定其中任两个都可以产生出整个群来。Q有着下列的展现

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle }$

其中可以取成i=x、j=y及k=xy。

Q的中心及交换子群为{±1}。其商群 Q/{±1}会同构于克莱因四元群V。Q的内自同构群会同构于Q同余其中心，且因此也会同构于克莱因四元群。Q的全自同构群会同构于对称群S₄。Q的外自同构群因此为S₄/V，其会同构于S₃。

四元群Q亦可视为是作用于在有限体GF(3)上之二维向量空间的八个非零元素。关于其图像，请见图像化GL(2,p)（页面存档备份，存于互联网档案馆）。