齐性空间

设X是一个非空集合，G是一个群。如果存在G在X上一个作用，则X称为一个G-空间^[1]。注意G通过自同构自动作用在这个集合上。如果X还额外属于某一个范畴，则要求G中元素的作用是这个范畴中的自同构。从而由G在X上产生的映射保持结构。一个齐性空间是一个G作用传递的G空间。

简明地说，如果X是范畴C中一个对象，则一个G-空间结构是G到范畴C中对象X的自同构群一个同态：

${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X).}$ 

若ρ(G)是承载集合X的一个传递的、对称群，则二元组 (X,ρ)定义了一个齐性空间。

例子

例如，若X是一个拓扑空间，则要求群元素在X上的作用是自同胚。G-空间的结构是到X自同胚群的一个群同态ρ : G → Homeo(X)。

类似地，如果X是一个微分流形，则群元素是微分同胚。G-空间结构是到X微分同胚群的一个群同态ρ : G → Diffeo(X)。

从埃尔朗根纲领的观点，可以理解在X的几何中“所有点是一样的”。十九世纪中叶黎曼几何提出之前的所有几何本质上都是如此。

例如欧几里得空间、仿射空间和射影空间都自然是相应对称群的齐性空间。这对常曲率非欧几里得几何模型，比如双曲空间，同样成立。

一个深一点的经典例子是三维射影空间里线组成的空间（等价于，四维向量空间中的二维子空间）。用简单的线性代数可以证明GL₄传递作用在这个空间上。我们可用“线坐标”将其参数化：存在2×4矩阵的2×2 子式使得其列向量是子空间的两个基向量。所得空间的几何是尤里乌斯·普吕克（英语：Julius Plücker）的线几何。

一般地，如果X是一个齐性空间，而H_o是X中某一给定点o的稳定子（选取一个原点），X中的点对应于左陪集G/H_o。

选取不同的原点o一般将得到G商去一个不同子群H_o′，它与H_o相差一个G的内自同构。准确地，

${\displaystyle H_{o'}=gH_{o}g^{-1}}$     (1)

这里g是G中任何元素使得go = o′。注意内自同构 (1)与g的选取无关，只取决与g模去H_o。

如果G在X上的作用连续，则H是G的一个闭子群。特别地，如果G是一个李群，则由嘉当定理H是一个闭李子群。从而G/H是一个光滑流形，并且X带有与这个群作用相容惟一的光滑结构。

如果H是恒同子群{e}，则X是一个主齐性空间。

对线几何之例子，我们可将H等同于16-维一般线性群

GL₄

的一个12-维子群，由如下矩阵元素的条件定义

h₁₃ = h₁₄ = h₂₃ = h₂₄ = 0,

通过寻找前两个标准基向量生成的子空间的稳定子。这便证明了X的维数是4。

因为由子式给出的齐次坐标有6个，这意味着后者不是互相独立的。事实上这六个子式间有一个二次关系，已为十九世纪的几何学家知道。

这个例子是比射影空间更早发现的第一个格拉斯曼流形。在数学的通常使用中有许多更深入的典型线性群的齐性空间。

准齐性向量空间概念由佐藤干夫提出。

它是带有一个代数群G作用的有限维向量空间X，使得存在G的一个轨道在扎里斯基拓扑下是开集（从而稠密）。一个例子是GL₁作用在一维空间空间上。

这个定义比它最初出现时更加严格：这样的空间具有不寻常的性质，不可约准齐性向量空间在相差一个称之为“castling”的转换下存在一个分类。

凡用到广义相对论的宇宙学都会使用比安基分类系统。相对论中的齐性空间代表某种宇宙模型的背景度量的空间部分；例如弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量的三个案例可以用比安基I（平坦），V（开），VII（平坦或开）与IX（闭）型子集来代表，而Mixmaster universe（英语：Mixmaster universe）代表一个比安基IX型宇宙的各向异性例子^[2]。

一个N维齐性空间允许一个由N(N-1)/2 基灵向量场组成的集合^[3]。三维时，总共给出了六个线性无关的基灵向量场；齐性3-空间可以使用这些向量场的线性组合，来寻找在任何地方都非零的基灵向量场${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}}$ ，

${\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}$ 

这里${\displaystyle C_{\ bc}^{a}}$ 为“结构常数”，是一个常秩-3张量，两个下指标反对称，${\displaystyle ;}$ 表示共变微分算子。在一个平坦各向同性宇宙情形，可能有${\displaystyle C_{\ bc}^{a}=0}$ （I型），但在闭FLRW宇宙情形，${\displaystyle C_{\ bc}^{a}=\varepsilon _{\ bc}^{a}}$ 这里${\displaystyle \varepsilon _{\ bc}^{a}}$ 是列维-奇维塔符号。

• 埃尔朗根纲领
• 克莱因几何（英语：Klein geometry）