超实数 (非标准分析)

超实数系统是为了严格处理无穷量（无穷大量和无穷小量）而提出的。自从微积分的发明以来，数学家、科学家和工程师等（包括牛顿和莱布尼兹在内）就一直广泛地用无穷小量等概念。超实数集，或称为非标准实数集，记为 $^{*}\mathbb {R}$ ，是实数集 $\mathbb {R}$ 的一个扩张；其中含有一种数，它们大于所有如下形式的数：

超实数轴上的无穷小（ε）和无穷大（ω）（1/ε=ω/1）

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
超数
超现实数

其他

质数 $\mathbb {P}$
可计算数
基数
阿列夫数
 同余
 整数数列
公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无穷大 $\infty$

1+1+\cdots +1

（有限个）

这可以解释为无穷大；而它们的倒数就作为无穷小量。 $^{*}\mathbb {R}$ 满足如下性质：任何关于 $\mathbb {R}$ 的一阶命题如果成立，则对 $^{*}\mathbb {R}$ 也成立。这种性质称为传达原理（英语：Transfer principle）。举例来说，实数集的加法交换律

\forall x,y\in \mathbb {R} ,x+y=y+x

是关于 $\mathbb {R}$ 的一阶命题。因此以下命题同样成立：

\forall x,y\in ^{*}\mathbb {R} ,x+y=y+x

也就是说超实数集同样满足加法交换律。

无穷小量的概念是否严格呢？此问题可以追溯到古希腊数学：数学家们如欧几里得、阿基米德等，为了在一些证明里绕开无穷小量的争议以保证严格性，而采用了穷竭法等其它说明方式^[1]。而亚伯拉罕·鲁滨逊在1960年代证明了，

超实数系统是相容的，当且仅当实数系统是相容的

换句话说，如果对实数的使用没有怀疑，那也可以放心使用超实数。在处理数学分析的问题时对超实数、尤其是传达原理的使用，通称为非标准分析。

参考资料

^ Ball, p. 31

Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]. New York: Dover Publications. 1960: 50–62. ISBN 0-486-20630-0.

[1] Ball, p. 31

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