四维多胞体

在四维几何学中，四维多胞体又称4-多胞形是一种位于四维空间中的多胞形^[1]^[2]，其为由多个多面体作为维面所构成的封闭几何结构。这些多胞体的组成元素可分为顶点、边、面（多边形）、胞（多面体）。每个面都与两个胞相邻。四维多胞体最早由瑞士数学家路德维希·施莱夫利在1853之前发现。^[4]

四维多胞体在二维空间的类比是多边形、在三维空间的类比是多面体。

从拓朴学的观点来看，四维多胞体与三维堆砌体密切相关，如立方体堆砌，其为三维空间的空间填充；类似地，三维立方体也与二维的正方形镶嵌有关。凸四维多胞体可以切割并展开维三维空间的展开图。

定义

四维多胞体是一个封闭的四维几何结构。其由顶点（角点）、边、面和胞组成。胞是面的三维类比，也就是多面体。每个面必须正好连接两个胞，类似于多面体的每条边必须正好连接两个面。^[5]另外，也像多面体不能被分为2个或多个同样是多面体的子部件一样，四维多胞体不能被分为2个或多个同样属于四维多胞体的集合的子部件，也就是说，其不能为复合体。

几何

四维凸正多胞体是三维帕雷托立体在四维空间的类比。最常见的就是超立方体，立方体的四维类比。^[6]

四维凸正多胞体可以在相同半径的条件下，依其大小（超体积）排序。序列中每一个几何结构都比前一个更圆、更接近超球体，在相同的半径范围内包围着更大的空间 ^[7]。正五胞体是最小的情况，而正一百二十胞体是最大的情况。其结构复杂度（透过比较排布矩阵（英语：Configuration_(polytope)）或简单的顶点数量来衡量）也依照这个顺序排列。

四维凸正多胞体
对称群	A₄	B₄（英语：Hyperoctahedral_group）		F₄（英语：F4 (mathematics)）	H₄（英语：H4 polytope）
名称	正五胞体超四面体	正十六胞体超八面体	四维超正方体超立方体	正二十四胞体	正六百胞体超二十面体	正一百二十胞体超十二面体
施莱夫利符号	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
考克斯特记号（英语：Coxeter diagram）
镜像二面角	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
图
顶点	5个正四面体状	8个正八面体状	16个正四面体状	24个立方体状	120个正二十面体状	600个正四面体状
边	10个正三角形分布	24个正方形分布	32个正三角形分布	96个正三角形分布	720个正五边形分布	1200个正三角形分布
面	10个正三角形	32个正三角形	24个正方形	96个正三角形	1200个正三角形	720个正五边形
胞	5个正四面体	16个正四面体	8个立方体	24个正八面体	600个正四面体	120个正十二面体
Tori	1个5-四面体	2个8-四面体	2个4-立方体	4个6-八面体	20个30-四面体	12个10-十二面体
大多边形		2 𝝅/2 3个正方形	4 𝝅/2 3个矩形	4 𝝅/3 4个正六边形	12 𝝅/5 6个十边形	50 𝝅/15 4个十二边形
皮特里多边形	1个物边形	1个八边形	2个八边形	2个十二边形	4个三十边形（英语：30-gon#Petrie polygons）	20个三十边形（英语：30-gon#Petrie polygons）
长半径	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
边长	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
短半径	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
面积	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
体积（超表面积）	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
超体积	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

拓朴特征

四维超正方体的施莱盖尔图（英语：Schlegel diagram）

四维多胞体的拓朴特征由贝蒂数和扭转系数定义。^[8]

用于描述多面体的欧拉特征数并不能有效地推广到更高的维度，对于所有四维多胞体而言，无论其有合拓朴结构，欧拉特征数的值都是零。由于欧拉特征数无法有效地区分高维空间中不同的拓朴结构，因此导致了更复杂的贝蒂数的发现。^[8]

同样地，多面体的定向性也不足以描述四维多胞体表面的扭曲情况，因此需要使用扭转系数来描述。^[8]

分类

标准

四维多胞体可以依照其特性进行分类，例如凹凸性和对称性。

凸的四维多胞体代表其边界（包含胞、面和边）不会自我相交，且任两点连线皆位于整个几何结构内部或正好落在其边界上，若无法满足上述条件则这个四维多胞体就是非凸的。自我相交的四维多胞体又被称为四维星形多胞体，其可以视为星形多边形和星形多面体在四维空间的类比。^[9]
正的四维多胞体代表其标记可以在其对称性上传递，这意味着该四维多胞体所有胞全等、所有面全等、所有边等长所有顶点图全等，其可以视正多面体的类比。^[3]
半正的四维多胞体代表其具有一个所有顶点皆等价的对称性（点可递），且其胞都是正多面体。半正四维多胞体可以有不只一种的胞，但前提是其皆要由同一种面来构成。索罗德·戈塞特（英语：Thorold Gosset）在1900年只发现了三种半正四维多胞体，分别为截半正五胞体、截半六百胞体（英语：Rectified 600-cell）和扭棱二十四胞体（英语：Snub 24-cell）。^[10]
均匀的四维多胞体代表其具有一个所有顶点皆等价的对称性，且其胞都是均匀多面体，其面也要是正多边形。
三维空间的堆砌体是将三维欧几里得空间划分为以多面体为胞的重复性网格。这样的空间填充是无限的，且并不具有四维超体积，是四维无限胞体的例子。均匀三维堆砌体是指顶点图全等并与某个空间群相关联，且其胞为均匀多面体。

类别

下面列出了依上述标准分类的四维多胞体：

截角正一百二十胞体是47个非柱状四维均匀多胞体（英语：Uniform 4-polytope）之一

四维均匀多胞体（英语：Uniform 4-polytope）（点可递）

四维凸均匀多胞体（64个加2个无限集合）
- 47个非柱状四维均匀多胞体（英语：Uniform 4-polytope），当中包括：
  - 6个四维凸正多胞体
- 柱状四维均匀多胞体
  - {} × {p,q}：18个多面体柱体（英语：Uniform 4-polytope#Polyhedral hyperprisms）（包括四维超正方体）
  - 基于反棱柱的柱体（无限集合）
  - {p} × {q}：四维柱体柱（无限集合）
四维非凸均匀多胞体（10个已知其余数量未知）
- 10个（正）施莱夫利-赫斯多胞体（英语：Schläfli-Hess polytope）
- 57 个基于星形均匀多面体的四维柱。
- 未知总数的四维非凸均匀多胞体：诺曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）和其他合作者已经确定有2189个已知的四维非凸均匀多胞体（凸和星形，不含无限集合）皆由Stella4D软件（英语：Stella (software)）透过顶点图构造。^[11]

其他凸四维多胞体

多面体锥
多面体双锥
多面体柱

基于欧几里得三维堆砌体的四维均匀无限胞体

28个凸均匀堆砌：凸均匀多面体的空间填充，也包括：
- 1个正空间填充，立方体堆砌：{4,3,4}

基于双曲空间三维堆砌体的四维均匀无限胞体

76个威佐夫双曲空间填充，也包括：
- 4个正紧凑双曲空间填充：{3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

均匀四维多胞体对偶（胞可递）

41个不相同的凸四维多胞体对偶
17个不相同的均匀多面体柱对偶
无限集合的四维柱体柱对偶（不规则四面体胞）
27个不相同的均匀堆砌对偶，包括：
- 菱形十二面体堆砌
- 复锲形体堆砌（英语：Tetragonal disphenoid honeycomb）

其他

韦尔—费伦结构

四维抽象多胞形（英语：Abstract polytope）

参见

四维凸正多胞体

参考文献

^ Vialar, T. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. 2009: 674 [2022-12-19]. ISBN 978-3-540-85977-2. （原始内容存档于2023-01-09）.
^ Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. 2010: 598 [2022-12-19]. ISBN 978-90-481-8580-1. doi:10.1007/978-90-481-8581-8. （原始内容存档于2023-01-09）.
^ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes（英语：Regular Polytopes (book)） 3rd. New York: Dover. 1973. ISBN 0-486-61480-8.
^ Coxeter 1973^[3], p. 141, §7-x. Historical remarks.
^ Allen Liu. Regular and Uniform Polytopes up to Four Dimensions (PDF). www.math.harvard.edu. [2022-12-23]. （原始内容存档 (PDF)于2021-12-01）.
^ The Tesseract - a 4-dimensional cube. www.cut-the-knot.org. [2020-11-09]. （原始内容存档于2022-12-12）.
^ Coxeter 1973^[3], pp. 292–293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions: [An invaluable table providing all 20 metrics of each 4-polytope in edge length units. They must be algebraically converted to compare polytopes of unit radius.]
^ ^8.0 ^8.1 ^8.2 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
^ Coxeter, H.S.M. Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ). Elemente der Mathematik. 1989, 44 (2): 25–36 [2022-12-23]. （原始内容存档于2022-01-30）.
^ Gosset, Thorold（英语：Thorold Gosset）. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions. Messenger of Mathematics (Macmillan). 1900.
^ Uniform Polychora （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005

[1] Vialar, T. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. 2009: 674 [2022-12-19]. ISBN 978-3-540-85977-2. （原始内容存档于2023-01-09）.

[2] Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. 2010: 598 [2022-12-19]. ISBN 978-90-481-8580-1. doi:10.1007/978-90-481-8581-8. （原始内容存档于2023-01-09）.

[Coxeter_1973-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes（英语：Regular Polytopes (book)） 3rd. New York: Dover. 1973. ISBN 0-486-61480-8.

[4] Coxeter 1973^[3], p. 141, §7-x. Historical remarks.

[5] Allen Liu. Regular and Uniform Polytopes up to Four Dimensions (PDF). www.math.harvard.edu. [2022-12-23]. （原始内容存档 (PDF)于2021-12-01）.

[6] The Tesseract - a 4-dimensional cube. www.cut-the-knot.org. [2020-11-09]. （原始内容存档于2022-12-12）.

[7] Coxeter 1973^[3], pp. 292–293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions: [An invaluable table providing all 20 metrics of each 4-polytope in edge length units. They must be algebraically converted to compare polytopes of unit radius.]

[richeson-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

[9] Coxeter, H.S.M. Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ). Elemente der Mathematik. 1989, 44 (2): 25–36 [2022-12-23]. （原始内容存档于2022-01-30）.

[10] Gosset, Thorold（英语：Thorold Gosset）. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions. Messenger of Mathematics (Macmillan). 1900.

[11] Uniform Polychora （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005

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