星形多边形

两种星形多边形
Alfkors.svg
{5/2}
Stjärna.svg
|5/2|
正五角星{5/2}是一种星形多边形,有五个顶点和互相相交的边,其可以对应到一个凹十边形|5/2|。
Small stellated dodecahedron.png
小星形十二面体
Kepler decagon pentagon pentagram tiling.png
镶嵌

几何学中,星形多边形是一种外观有数个向外凸起的非凸多边形。目前几何学上尚未有一个广泛被接受的星形多边形定义,目前较常见的定义为存在顶点不和相邻顶点连接的多边形[1][2],或者从一般多边形透过截角或延长边并使其相交所形成的形状[3]。目前有被从多个角度进行研究的星形多边形只有星形正多边形。数学家布兰科·格伦鲍姆英语Branko Grünbaum指出了两种由开普勒提出的定义:一种是具有自相交的星形正多边形,且自相交的棱不产生新的顶点,另一种是等边简单凹多边形[5]

命名

星形多边形一般有许多向外突出的角,一般依照其向外突出之角的数量命名,如五角星,部分文献将之称为一个芒,整体形状以芒数命名,如五芒星[6]六芒星[7]

简单等边星形多边形

若一星形多边形是一个简单多边形或边不相交的多边形,则该星形多边形不可能为星形正多边形,因为若将星形正多边形的相交边移除,则其不再正多边形,但可以形成等边多边形。这类等边多边形通常由2个落在半径不同的圆上之顶点交错连接构成。数学家布兰科·格伦鲍姆英语Branko Grünbaum在其著作《Tilings and Patterns》中将这类多边形以符号 表示由星形多边形 移除相交线段后构成的星形多边形,例如星形多边形 移除位于内部的线段后的结果计为  表达一个内角 度的n角星[5]

简单等边星形多边形
|n/d|
{nα}
 
{330°}
 
{630°}
|5/2|
{536°}
 
{445°}
|8/3|
{845°}
|6/2|
{660°}
 
{572°}
α 30° 36° 45° 60° 72°
β 150° 90° 72° 135° 90° 120° 144°
等边星形多边形              
对应的星形正多边形  
{12/5}
 
{5/2}
 
{8/3}
 
2{3}
星形图英语Star figure
 
{10/3}

星形正多边形

 
{5/2}
 
{7/2}
 
{7/3}...

星形正多边形包括五角星八角星等等,n角星的施莱夫利符号为{n/m},其中m是小于n/2且和n互质的正整数。托马斯·布拉德华是最早系统性地对星形正多边形的研究的学者,后来约翰内斯·开普勒也做了类似的研究。[8]

参见

  • 星形多面体

参考文献

  1. ^ 星型多角形は特殊な図形か (PDF). fzk.ed.shizuoka.ac.jp. [2019-11-11]. (原始内容存档 (PDF)于2019-11-11). 
  2. ^ 志凌资讯 刘致仪. 跟我學CorelDRAW X7向量彩繪創意. 碁峰资讯股份有限公司. 2014. ISBN 9789863473107. 
  3. ^ 五角星形. shuxuele.com. [2019-11-11]. (原始内容存档于2019-11-11). 
  4. ^ Grünbaum, B.英语Branko Grünbaum, G.C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1
  5. ^ 5.0 5.1 Grünbaum & Shephard 1987,[4] section 2.5
  6. ^ 高柳茜. 丸にとらわれたお星さま!?ファンタジックで美しい数学 ~星型正n角形k点飛ばしにおける面積の一般化公式を導く~. milive.jp. [2019-11-11]. (原始内容存档于2019-11-11). 
  7. ^ 羅東六芒星超美主燈!「歡樂宜蘭年」讓你有走迷宮感覺. 东森新闻云. 2019-02-12 [2019-11-11]. (原始内容存档于2021-05-16). 
  8. ^ Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 Star polygons p.36-38