凹多边形

凹多边形是几何学的名词，为多边形分类中的一类。其特征为至少有一个内角介于 $\ 180^{\circ }$ 与 $\ 360^{\circ }$ 之间（这种角又称作优角）^[1]。注意上述的内角角度不包含 $\ 180^{\circ }$ 与 $\ 360^{\circ }$ ，因为会属于另外一种多边形——退化多边形。

凹多边形示例

前置知识

简单多边形是其任何边都不会与自身相交的多边形，而简单多边形可以根据凹凸性再分成凸多边形（英语：convex polygon）与凹多边形（英语：concave polygon）两类。

不同的理解角度

初等几何学与几何学对于凹多边形的定义有所差异。初等几何学只讨论在简单多边形当中的凹多边形，如前一小节所述。

而在几何学的正式定义中，凹多边形是非凸的 （英语：non-convex）多边形^[2]。换言之，因为没有简单多边形的限制，在后者的定义中，星形多边形也是一种凹多边形。^[3]

另外凹多边形亦有文献称为凹角的多边形 （英语：reentrant polygon）^[4]。

简单多边形的内角和

当我们要计算一个 $\ n\$ 多边形的内角和，无论它是凸多边形还是凹多边形，其内角和皆为 $\ 180^{\circ }\times (n-2)$ 。这是因为凹多边形可以用对角线适当分割成数个凸多边形，可行的算法由 Chazelle 和 Dobkin 在 1985 年提出，此算法可以将任意凹多边形分解成最少数量的凸多边形^[5]。

参见

多边形
简单多边形
凸多边形
多边形的凹凸性

参考文献

^ Definition and properties of concave polygons with interactive animation.. [2018-12-02]. （原始内容存档于2017-07-26）.
^ Leff, Lawrence, Let's Review: Geometry, Hauppauge, NY: Barron's Educational Series: 66, 2008, ISBN 978-0-7641-4069-3
^ Terr. ConcavePolygon. mathworld. [2023-03-09].
^ Mason, J.I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette (The Mathematical Association), 1946, 30 (291): 237–238, JSTOR 3611229, doi:10.2307/3611229 .
^ Chazelle, Bernard; Dobkin, David P., Optimal convex decompositions, Toussaint, G. T. (编), Computational Geometry (PDF), Elsevier: 63–133, 1985 [2018-12-02], （原始内容 (PDF)存档于2019-01-26） .

外部链接

Terr, David; Weisstein, Eric W. Concave Polygon. MathWorld.

[MOR-1] Definition and properties of concave polygons with interactive animation.. [2018-12-02]. （原始内容存档于2017-07-26）.

[2] Leff, Lawrence, Let's Review: Geometry, Hauppauge, NY: Barron's Educational Series: 66, 2008, ISBN 978-0-7641-4069-3

[3] Terr. ConcavePolygon. mathworld. [2023-03-09].

[4] Mason, J.I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette (The Mathematical Association), 1946, 30 (291): 237–238, JSTOR 3611229, doi:10.2307/3611229 .

[5] Chazelle, Bernard; Dobkin, David P., Optimal convex decompositions, Toussaint, G. T. (编), Computational Geometry (PDF), Elsevier: 63–133, 1985 [2018-12-02], （原始内容 (PDF)存档于2019-01-26） .

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