凸多边形

在几何学中，凸多边形是一种简单多边形，其不存在边自我相交的情况，且任两点之间连成的直线皆位于多边形内部，这个特性与内部为凸集的简单多边形等价[1]。在凸多边形中，所有内角都小于或等于180度，而在严格凸多边形中，所有内角都严格小于180度。

凸多边形示例：正五边形

性质

简单多边形的下列性质与其凸性等价：

  • 每个内角小于180度。
  • 任何两个顶点间的线段位于多边形的内部或边界上。
    • 在多边形内部或边界上的任何两个顶点间的线段也同样都会位于边界内或边界上。
  • 多边形完全包含在任意边对应的直线所限定的封闭半平面中。
  • 对所有边而言，任何内部的点都在由该边锁定一只直线的同一侧。
  • 任意顶点所构成的角皆包含其边缘和内部的所有其他顶点。
  • 凸多边形的凸包与多边形的边缘相同。

凸多边形亦包括下列性质：

  • 两个凸多边形的交集仍是凸多边形。
  • 凸多边形可以透过连接其对角线在线性时间内分割成若干个三角形（日语：多角形の三角形分割）。
  • 赫吕定理（英语：Helly's_theorem）（爱德华·赫吕（英语：Eduard Helly））：
    • 对于至少有3个凸多边形的集合，若每个多边形两两之间的交集都不是空集合，则整个集合所有多边形的交集都不是空集合[2]。
  • 克林 - 米尔曼定理：凸多边形的周界是其顶点的凸包。也就是说，凸多边形可以完全仅由顶点的集合完成定义（例如凹多边形与星形多边形，由于其周界不一定为其顶点的凸包，因此还需要再加上顶点相连之结构才能定义），由于凸多边形可以完全仅由顶点的集合完成定义，因此仅需要利用其角的资讯即可呈现出多边形的形状。

参见

参考文献

  1. ^ Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2018-12-02]. （原始内容存档于2017-10-17）. 
  2. ^ Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V., Helly's theorem and its relatives, Convexity, Proc. Symp. Pure Math. 7, American Mathematical Society: 101–180, 1963 

外部链接