皮特里多边形

在几何学中，皮特里多边形（Petrie polygon）是一种可以透过n维正多胞形的棱建构的扭歪多边形，通常可以由n-1或以上（不含n）个维面上各取一棱构成。正多边形的皮特里多边形是其自身；而正多面体的皮特里多边形是扭歪多边形，因此正多面体的皮特里多边形连续两个边都会位于同一个面[1][2]:161。皮特里多边形一词以约翰·弗林德斯·皮特里命名。

每个正多胞形都会存在一个正交投影，该正交投影能使对应几何结构中其中一个皮特里多边形被投影成正多边形。这个被投影成正多边形的皮特里多边形会正好位于这个正交投影的最外圈，而其余皮特里多边形会呈现于其内部。而该扭歪多边形所在的投影平面是对应几何体之对称性的考克斯特平面，而扭歪多边形的边数则是该考克斯特平面对应之考克斯特群的考克斯特数（英语：Coxeter number）。这些多边形和投影图可用于可视化高维正图形的对称结构。

嵌入图（英语：Graph embedding）可以更广义地定义皮特里多边形。皮特里多边形可以定义为同一个图，嵌入（英语：Graph embedding）在不同曲面时的面，而这种结构又称为皮特里对偶。[3]

历史

约翰·弗林德斯·皮特里（John Flinders Petrie）是英国埃及学家弗林德斯·皮特里的独生子。他生于1907年，自幼展现出了非凡的数学能力。全盛时期时的数学实力在高维几何学上有出色的表现，他可以透过视觉化的方式来回答关于复杂四维物体的问题。他首先指出了在正多面体和高维正多胞形对应曲面上的扭歪正多边形之重要性。考克斯特在1937年解释了他和皮特里如何开始扩展正多面体经典主题的方式：[4]:33-62

在1926年的某天，约翰·弗林德斯·皮特里兴奋地告诉我，他发现了两个新的正多面体。他具有无穷多个面且没有无效顶点。当我开始有点放下疑心时，他进一步地解释道：其中一个正多面体由正方形组成，且每个顶点都是六个正方形的公共顶点[注 1]、而另一个正多面体由正六边形组成，且每个顶点四个正六边形的公共顶点[注 2][4]:33-62[注 3]。

1938年，皮特里与考克斯特找了帕特里克·杜·瓦尔和H·T·弗拉等人合作研究并撰写了书籍《五十九种二十面体》并出版[6]。考克斯特意识到皮特里使用的扭歪多边形的几何功能后，在他写关于正多胞形的书籍时便以皮特里来命名此类多边形。

皮特里多边形的概念最初是定义于正多胞形上的，在后续的几篇相关研究上，这个概念被推广到半正多胞形上。[7]

正多面体的皮特里多边形

正多面体{p,q}和其对偶多面体{q,p}的皮特里多边形包含在同一个正交投影中[7]。

正多面体的皮特里多边形
扭歪四边形 扭歪六边形 扭歪十边形
         
         
正四面体 {3,3} 立方体 {4,3} 正八面体 {3,4} 正十二面体 {5,3} 正二十面体 {3,5}
                             
棱为中心 角为中心 面为中心 面为中心 角为中心
V:(4,0) V:(6,2) V:(6,0) V:(10,10,0) V:(10,2)

皮特里多边形是这些正交投影图的周界。
顶点的同心环从外部开始向内计数，并以V:(a, b, ...)表示；若没有中心顶点则从0起算。
对于一个施莱夫利符号计为{p, q}的几何结构，其边数为24/(10−p−q) − 2.[8]

注解

  1. ^ 即四角六片四角孔扭歪无限面体[4][5]。
  2. ^ 即六角四片四角孔扭歪无限面体[4][5]。
  3. ^ 原文为：One day in 1926, J. F. Petrie told me with much excitement that he had discovered two new regular polyhedral; infinite but free of false vertices. When my incredulity had begun to subside, he described them to me: one consisting of squares, six at each vertex, and one consisting of hexagons, four at each vertex.

参考文献

  1. ^ H. S. M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections. Annals of Mathematics, Second Series. Jul., 1934,. Vol. 35 (No. 3): pp. 588-621. 
  2. ^ F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter. Wiley-Interscience Publication. 1995. ISBN 978-0-471-01003-6. 
  3. ^ Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proceedings of the London Mathematical Society. (2) 43, 1937.
  5. ^ 5.0 5.1 いくろ こたろ. ねじれ多面体. geocities.jp. [2018-09-02]. （原始内容存档于2018-10-08）. 
  6. ^ H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) The Fifty-nine Icosahedra, University of Toronto studies, mathematical series 6: 1–26
  7. ^ 7.0 7.1 Deza, Michel. Note on Petri duals and hypercube embeddings of semiregular polyhedra. Symmetry. 2011-01, 22. 
  8. ^ Steinberg, Robert. On the number of sides of a Petrie polygon (PDF). Canadian Journal of Mathematics (Cambridge University Press). 1958, 10: 220–221. [失效链接]

外部链接