扭歪多边形

在几何学中，扭歪[1]多边形（英语：Skew polygon）又称歪斜多边形、挠多边形[2]或鞍形多边形（英语：Saddle Polygon[3]）是指顶点并非全部共面的多边形[4][5]。扭歪多边形最少要有四个顶点。其无法找到一个唯一的多边形内部区域。而扭歪无限边形则是代表顶点并非全部共线的无限边形[6]。除了扭歪无限边形之外的扭歪多边形仅能存在于三维或以上的空间，因为二维空间中不会有不共面的情形。

扭歪十边形
位于锲形体上标明红色的边是一个正锯齿扭歪四边形

锯齿扭歪多边形（英语：zig-zag skew polygon）又称反柱多边形（英语：antiprismatic polygon）[8]是一种顶点交错位于两平面且边数是偶数的扭歪多边形。

三维的正扭歪多边形

正扭歪多边形需要具备有点可递与边长皆相等的性质。在三维空间中，偶数边数的正扭歪多边形是顶点交错位于两平面的一种锯齿扭歪多边形（或称反柱多边形），每个底面边数为n的反柱体都可以构造一个正扭歪2n边形。

这种正多边形在施莱夫利符号中以{p}#{ }表示其为正多边形（施莱夫利符号： {p} ）和正交线段（施莱夫利符号： { } ）的复合体[10]，其中p表示多边形的边数。连续顶点之间的对称变换是滑移镜射（英语：glide reflection）。

均匀的反柱体之侧面相连绕反柱体一圈的多边形就是正扭歪多边形的一个例子，如下表列举的正四角反角柱和正五角反角柱。星形反棱柱（英语：Prismatic_uniform_polyhedron#Star_antiprism）也可以透过与原先顶面到比面不同的连接顺序来构造出正扭歪多边形。

正锯齿扭歪多边形
扭歪四边形 扭歪六边形 扭歪八边形 扭歪十边形 扭歪十二边形
{2}#{ } {3}#{ } {4}#{ } {5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ } {6}#{ }
             
s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} sr{2,5/2}（英语：pentagrammic antiprism） s{2,10/3}（英语：pentagrammic crossed-antiprism） s{2,12}

正扭歪多边形也存在正的复合几何图形，其中，复合正锯齿扭歪多边形在边数是偶数的情形下可透过一个正扭歪多边形与另外一个全等但是旋转过的扭歪多边形重叠来构造。这些形状与一些反柱体的柱体状复合体共用顶点。

复合正锯齿扭歪多边形
扭歪四边形 扭歪六边形 扭歪十边形
二个{2}#{ } 三个{3}#{ } 二个{3}#{ } 二个{5/3}#{ }
       

正多面体的皮特里多边形也可以用来构造正扭歪多边形

 

三维空间的等角扭歪多边形

等角扭歪多边形是一种等角但边未必等长的扭歪多边形。正扭歪多边形是一种等角扭歪多边形，但等角扭歪多边形不一定会是正扭歪多边形。半正的等角扭歪多边形通常会有两组等长的边交错。

扭歪八边形 扭歪十二边形 扭歪二十四边形
 
立方体, 正方形对角线 		 
立方体 		 
交叉立方体 		 
六角柱 		 
六角柱 		 
六角柱 		 
扭曲柱体
三个正扭歪无限面体的顶点图
{4,6|4} {6,4|4} {6,6|3}
 
正扭歪六边形
{3}#{ } 		 
正扭歪四边形
{2}#{ } 		 
正扭歪六边形
{3}#{ }

四维的正扭歪多边形

由于扭歪多边形的定义是指顶点并非全部共面的多边形，因此也可以扭歪到更高的维度。

四维空间中简单的正扭歪多边形也如同三维空间，可透过正图形的皮特里多边形构造。下表将四维凸正多胞体的三维投影以黄色标出扭歪多边形：

A4, [3,3,3] B4, [4,3,3] F4, [3,4,3] H4, [5,3,3]
扭歪五边形 扭歪八边形 扭歪十二边形 扭歪三十边形
   
 
正五胞体
{3,3,3} 		 
超正方体
{4,3,3} 		 
正十六胞体
{3,3,4} 		 
正二十四胞体
{3,4,3} 		 
正一百二十胞体
{5,3,3} 		 
正六百胞体
{3,3,5}

参见

  • 歪斜

参考文献

  1. Coxeter, H. S. M. Petrie Polygons. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (sec 2.6 Petrie Polygons pp. 24–25, and Chapter 12, pp. 213–235, The generalized Petrie polygon )
  2. Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. 1980. ISBN 0-387-09212-9.  (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p,q}.
  3. John Milnor: On the total curvature of knots, Ann. Math. 52 (1950) 248–257.
  4. J.M. Sullivan: Curves of finite total curvature, ArXiv:math.0606007v2
  1. ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始内容存档于2020-11-19）. 
  2. ^ skew polygon meaning in Chinese. ichacha.net. [2016-07-16]. （原始内容存档于2019-06-03）. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. Saddle Polygon. MathWorld. [2016-07-21]. （原始内容存档于2019-06-09）. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. Skew Polygon. MathWorld. [2016-07-21]. （原始内容存档于2021-02-08）. 
  5. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  "Skew Polygons (Saddle Polygons)." §2.2
  6. ^ Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, 互联网档案馆） (Definition: paper 13, Discrete groups generated by reflections, 1933, p. 161)
  7. ^ Coxeter, H.S.M.; Regular complex polytopes (1974). Chapter 1. Regular polygons, 1.5. Regular polygons in n dimensions, 1.7. Zigzag and antiprismatic polygons, 1.8. Helical polygons. 4.3. Flags and Orthoschemes, 11.3. Petrie polygons
  8. ^ Regular complex polytopes[7] , p. 6
  9. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0  p. 25
  10. ^ Abstract Regular Polytopes[9] , p.217

外部链接