四维凸正多胞体
在数学中，四维凸正多胞体（英语：convex regular polychoron）是指一类既是凸的又是正的的四维多胞体（4-多胞形）。它们是正多面体（三维）和正多边形（二维）的四维类比。它们最先在19世纪被数学家路德维希·施莱夫利所发现，其中五个与五个柏拉图立体一一对应，另外一个（正二十四胞体）没有好的三维类比。
每个四维凸正多胞体必须有同种的同样大小的凸正多面体胞面面相接构成，并且每个顶点周围必须有相同数量的胞。
特性
下面的表格描述了六个四维凸正多胞体的基本特性，表格的最后一列给出了它们所属的考克斯特群，形象化描述了它们在一系列镜面反射中的抽象群；及这个群的阶。
| 名称 | 家族 | 施莱夫利 符号 |
顶点 | 边 | 面 | 胞 | 顶点图 | 对偶 | 对称群 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正五胞体 超棱锥 超正四面体 四维单纯形 |
单纯形 （n-单纯形） |
{3,3,3} | 5 | 10 | 10 正三角形 |
5 正四面体 |
正四面体 | （自身对偶） | A4 | 120 |
| 正八胞体 超正方体 超立方体 四维立方体 |
立方形 （n-立方形） |
{4,3,3} | 16 | 32 | 24 正四边形 |
8 正六面体 |
正四面体 | 正十六胞体 | B4 | 384 |
| 正十六胞体 超正八面体 四维正轴形 |
正轴形 （n-正轴形） |
{3,3,4} | 8 | 24 | 32 正三角形 |
16 正四面体 |
正八面体 | 正八胞体 | B4 | 384 |
| 正二十四胞体 截半正十六胞体 重正八面体 |
（没有好的其他维度类比） | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 正三角形 |
24 正八面体 |
正六面体 | （自身对偶） | F4 | 1152 |
| 正一百二十胞体 超正十二面体 重正十二面体 |
正十二面体形 类五边形形 （n-类五边形形） |
{5,3,3} | 600 | 1200 | 720 正五边形 |
120 正十二面体 |
正四面体 | 正六百胞体 | H4 | 14400 |
| 正六百胞体 重正四面体 超正二十面体 |
正二十面体形 类二十面体形 （n-类二十面体形） |
{3,3,5} | 120 | 720 | 1200 正三角形 |
600 正四面体 |
正二十面体 | 正一百二十胞体 | H4 | 14400 |
这6个四维凸正多胞体都是表面与三维球面（S3）同胚的单连通多胞体，所以它们的欧拉示性数都为0，因此我们有以下欧拉公式的四维类比：
其中 代表零维顶点数， 代表一维棱数， 代表二维面数， 代表三维胞数。
可视化
以下的表格展示了6个四维凸正多胞体的多种二维投影（更多图像可以在各自的页面里找到）。表头给出了多胞体的施莱夫利符号和考克斯特符号。
| 正五胞体 | 正八胞体 | 正十六胞体 | 正二十四胞体 | 正一百二十胞体 | 正六百胞体 |
|---|---|---|---|---|---|
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 皮特里多边形正对的正交线架投影. | |||||
| 三维固体填充正交投影 | |||||
| 正四面体 凸包 （胞在前／顶点在前） |
立方体凸包 （胞在前） |
立方体凸包 （胞在前） |
截半立方体 凸包 （胞在前） |
截角菱形 三十面体 凸包 （胞在前） |
五角化截半 十二面体 凸包 （顶点在前） |
| 线架施莱格尔投影（透视投影） | |||||
| （胞在前） |
（胞在前） |
（胞在前） |
（胞在前） |
（胞在前） |
（顶点在前） |
| 线架球极投影（四维超球球极投影） | |||||
参考
- H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., John Wiley & Sons Inc., 1969. Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. 四维凸正多胞体. MathWorld.
| 四维正多胞体 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 正五胞体 | 超立方体 | 正十六胞体 | 正二十四胞体 | 正一百二十胞体 | 正六百胞体 |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |