正轴形

在几何学中，正轴形，或称交叉形[1]、正交形[2]、超正八面体、余方形，是一个正的、凸的、存在于任意维度的多胞形。正轴形的顶点坐标都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列，正轴形是这些顶点的凸包。它的(n-1)维表面是(n-1)维的正单纯形，而正轴形的顶点图是前一维的另一正轴形。

n维正轴形也可以用在Rn中ℓ1-赋范下的单位球（或者，对于某些学者，单位球面）来定义；

在一维，正轴形就是线段 [−1, +1]，在二维它是正方形（或叫做正菱形），有顶点{(±1, 0), (0, ±1)。在三维它是正八面体—五个正多面体，即柏拉图立体之一。更高维的正轴形总结如下：

A 2-dimensional cross-polytope A 3-dimensional cross-polytope A 4-dimensional cross-polytope
二维
正方形 		三维
正八面体 		四维
正十六胞体

正轴形是超方形的对偶多胞形。n维正轴形的一阶骨架（英语：Skeleton (topology)）是Turán图（英语：Turán graph）T(2n,n)。

四维

四维正轴形也被叫做正十六胞体。它是6个四维凸正多胞体之一。这些多胞体最先被瑞士数学家路德维希·施莱夫利在19世纪中期描述过。

更高维

正轴形家族是三个延伸至正无穷维的正多胞形家族之一，考克斯特将其标记为βn，另外两个是超方形家族，记为γn，以及单纯形家族，记为αn第四个非凸多胞形的家族，超方形密铺家族，他将其标记为δn。

n维正轴形有2n个顶点，及2n个全都是(n−1)-单纯体的维面（n−1 维组成元素）。它的顶点图 都是n − 1维的正轴形。正轴形的施莱夫利符号是{3,3,…,3,4}。n-维正轴形的二面角是

 .

n-维正轴形的k-维组成元素（顶点、棱、面、…、维面）的个数由以下公式给出（见二项式系数）：

 

n-维正轴形的超体积为：

 

这里有许多能够以二维图像展示正轴形的正交投影，皮特里多边形投影是常用的一种投影，将其顶点，投影到一个2n边形或更低阶的正多边形上。第二次的投影再投影于更低维中的2(n-1)边皮特里多边形，例如双角锥，我们可将其沿主轴投影，两个顶点被投影到了投影的中心。

正轴形元素
n βn
k11		 名称
图像 		图像
2n边形 		图像
2(n-1)边形 		施莱夫利
符号 		考克斯特-（英语：Coxeter-Dynkin digram）
迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin digram） 		顶点 棱 面 胞 4-表面 5-表面 6-表面 7-表面 8-表面 9-表面
1 β1 线段
1-正轴体 		  {}  
  		2                  
2 β2
−111		 正方形
2-正轴体
二维正轴体 		    {4}
{}+{} 		   
    		4 4                
3 β3
011		 正八面体
3-正轴体
三维正轴体 		    {3,4}
{30,1,1}
{}+{}+{} 		     
   
      		6 12 8              
4 β4
111		 正十六胞体
4-正轴体
四维正轴体 		    {3,3,4}
{31,1,1}
4{} 		       
     
        		8 24 32 16            
5 β5
211		 5-正轴体
五维正轴体 		    {33,4}
{32,1,1}
5{} 		         
       
          		10 40 80 80 32          
6 β6
311		 6-正轴体
六维正轴体 		    {34,4}
{33,1,1}
6{} 		           
         
            		12 60 160 240 192 64        
7 β7
411		 7-正轴体
七维正轴体 		    {35,4}
{34,1,1}
7{} 		             
           
              		14 84 280 560 672 448 128      
8 β8
511		 8-正轴体
八维正轴体 		    {36,4}
{35,1,1}
8{} 		               
             
                		16 112 448 1120 1792 1792 1024 256    
9 β9
611		 9-正轴体
九维正轴体 		    {37,4}
{36,1,1}
9{} 		                 
               
                  		18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512  
10 β10
711		 10-正轴体
十维正轴体 		    {38,4}
{37,1,1}
10{} 		                   
                 
                    		20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024
...
n βn
k11		 n-正轴体
n维正轴体 		{3n − 2,4}
{3n − 3,1,1}
n{} 		     ...      
    ...     
        ...   		2n 0-表面, ... k-表面 ..., 2n (n-1)-表面

等轴正轴形的顶点在曼哈顿距离下，任意两点之间的距离都是相等的（L1赋规）。库斯纳猜想（英语：Kusner's conjecture）即是说这个由2d 个点组成的集合是在这距离下最大的等距集。[3]

另见

注释

  1. ^ Elte（英语：Emanuel Lodewijk Elte）, E. L., 超空间中的半正多胞形, 格罗宁根: 格罗宁根大学, 1912  第IV章，五维半正多胞形 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  2. ^ Conway把它叫做n-orthoplex寓意正交的复杂图形。
  3. ^ Guy, Richard K., 开放式问题的综合，怪异的构成, 美国数学月刊, 1983, 90 (3): 196–200, JSTOR 2975549 .

参考

  • Coxeter, H. S. M. 正多胞形 第3版. 纽约: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, 表 I (iii): Regular polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

外部链接