正六百胞体

几何学中,正六百胞体hexacosichoron)是四维凸正多胞体施莱夫利符号是{3,3,5},有时候会视为正二十面体的四维类比。

正六百胞体
(600胞体)
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
类型正多胞体
家族类二十面体形
对偶多胞形正一百二十胞体在维基数据编辑
识别
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
ex在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
施莱夫利符号{3,3,5}在维基数据编辑
性质
600 (3.3.3) Tetrahedron.png
1200 {3} 2-simplex t0.svg
720
顶点120
组成与布局
顶点图600-cell verf.svg
(3.3.3.3.3)
对称性
对称群H4, [3,3,5]
特性
凸多胞形, 点可递, 边可递, 面可递
二维线架正投射

正六百胞体的边界有600个正四面体胞、1200个正三角形面、720条边和120个顶点。每一顶点有20个正四面体相接。

几何性质

正六百胞体的对偶多胞体正一百二十胞体。 正六百胞体的顶点图正二十面体
边长为a的正六百胞体超体积为 ,表体积为50√2a3

以原点为中心,边长为 1/φ 的正六百胞体(其中φ = (1+√5)/2是黄金比例),顶点坐标如下:16个顶点形式如下

(±½,±½,±½,±½),

8个顶点从下列坐标不同排列得出

(0,0,0,±1),

剩下96个顶点是下列坐标的偶置换

½(±1,±φ,±1/φ,0)。

如果一个正六百胞体的棱长为1,则其外接超球半径为 黄金分割比;其外中交超球(经过正六百胞体每条棱的中点)半径为 ;其内中交超球(经过正六百胞体每个面的中心)半径为 ;其内切超球半径为 

注意到首16个顶点构成超正方体,次8个构成正十六胞体。这24个顶点一起构成正二十四胞体,事实上,如果移除这24个顶点,就会得到另一个有意思的半正多胞体扭棱正二十四胞体英语Snub 24-cell(Snub Icositetrachoron)。

对称群构造

如果把坐标看作四元数,正六百胞体的120个顶点以四元数乘法组成。这个群通常称为双二十面体群,因为它是二十面体群I的双重复盖。这个双十二面体群也可被看作是正六百胞体的旋转(无反射)对称群,因为单位四元数的乘法等同于点的旋转,也因此双十二面体群是H4群的一个子群。双二十面体群同构特殊线性群SL(2,5)。

正六百胞体的对称群H4外尔群,这个群的阶是14400。

可视化

正六百胞体的胞众多,并且这些正四面体胞基本上没有什么规律可循,为正六百胞体的可视化带来了许多困难,但作为正一百二十胞体对偶,许多正一百二十胞体的性质也表现在正六百胞体上。

 

大圆结构

正一百二十胞体的10个会首尾相连,构成“大圆”,这些胞与正六百胞体的顶点对偶,它们也会互相连接形成一个正十边形,这正十边形的每一条边周围都有5个正四面体共这条边,这种结构看上去就像有棱有角的飞盘。正十边形相邻的两条棱周围的两簇正四面体中间会有空隙,我们可以在填入10个正四面体使其构成正二十面体,这样你就会得到一个涉及150个胞、10条棱、100个裸露的正三角形面的环形结构,我们还可以在向这些面上填上正四面体,会得到一个涉及250个胞的有50个突出的顶点和100条凹陷的棱的大圆,它与另一条与之正交的250胞环在顶点处咬合,剩余的棱的空隙是剩余的100个胞。现在,如果我们去掉这两条大圆最初的10个顶点,我们就会得到四维唯一的非Wythoff英语non-Wythoffian凸半正多胞体英语convex uniform polychoron——重反棱柱英语Grand Antiprism,原来的大圆处留下了各10个正五反棱柱,并剩下了300个正四面体胞。

参考

四维正多胞体
正五胞体 超立方体 正十六胞体 正二十四胞体 正一百二十胞体 正六百胞体
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}