类五边形形
在几何学中，类五边形形（Pentagonal Polytope）是一类存在于n维空间中的由Hn考克斯特群产生的正多胞形。这一家族由乔治·奥利舍夫斯基命名，因为二维类五边形形就是正五边形。它们可由其施莱夫利符号分为两类，即 {5, 3n − 1}（类十二面体形）和{3n − 1, 5}（类二十面体形）。
家族成员
这一家族开始于一维多胞形，结束于n = 5 时的四维双曲空间堆砌。
这里有两大类型的类五边形形，即所谓类十二面体形和类二十面体形，也是以其三维成员命名的。这两种类型的类五边形形互为对偶。
类十二面体形
类十二面体正多胞形的全列表如下：
- 线段，{ }
- 正五边形，{5}
- 正十二面体，{5, 3}（12个正五边形面）
- 正一百二十胞体，{5, 3, 3}（120个正十二面体胞）
- 三阶正一百二十胞体堆砌，{5, 3, 3, 3}：四维双曲空间镶嵌（∞个正一百二十胞体超胞）
每一个类十二面体正多胞形的维面都是前一维的类十二面体正多胞形。其顶点图是前一维的正单纯形。
| n | 考克斯特群 | 皮特里多边形 投影 |
名称 考克斯特-迪肯符号 施莱夫利符号 |
维面 | 元素 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 顶点 | 棱 | 面 | 胞 | 4-胞 | |||||
| 1 | 线段 { } |
2 点 | 2 | ||||||
| 2 | 正五边形 {5} |
5 线段 | 5 | 5 | |||||
| 3 | 正十二面体 {5, 3} |
12 正五边形 |
20 | 30 | 12 | ||||
| 4 | 正一百二十胞体 {5, 3, 3} |
120 正十二面体 |
600 | 1200 | 720 | 120 | |||
| 5 | 三阶正一百二十胞体堆砌 {5, 3, 3, 3} |
∞ 正一百二十胞体 |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ||
类二十面体形
类二十面体正多胞形的全列表如下：
- 线段，{ }
- 正五边形，{5}
- 正二十面体，{3, 5}（20个正三角形面）
- 正六百胞体，{3, 3, 5}（120个正四面体胞）
- 五阶正五胞体堆砌，{3, 3, 3, 5}：四维双曲空间镶嵌（∞个正五胞体超胞）
每一个类二十面体形的维面皆属于该多胞形之维度少一维度之单纯形。 它们的顶点图是该类二十面体形少一维的类比。
| n | 考斯特群 | 皮特里多边形 投影 |
名称 考克斯特符号 施莱夫利符号 |
维面 | 元素 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 顶点 | 边 | 面 | 胞 | 超胞 | |||||
| 1 | 线段 { } |
2 顶点 | 2 | ||||||
| 2 | 五边形 {5} |
5 边 | 5 | 5 | |||||
| 3 | 正二十面体 {3, 5} |
20 正三角形 |
12 | 30 | 20 | ||||
| 4 | 正六百胞体 {3, 3, 5} |
600 正四面体 |
120 | 720 | 1200 | 600 | |||
| 5 | 五阶正五胞体堆砌 {3, 3, 3, 5} |
∞ 正五胞体 |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ||
注解
参考资料
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, 互联网档案馆）
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Table I(ii): 16 regular polytopes {p, q,r} in four dimensions, pp. 292–293)