1 − 2 + 3 − 4 + …

级数项（1, −2, 3, −4, …）不趋近于0，因此通过项测试便可确定1 − 2 + 3 − 4 + …发散。不过作为后文的参考，此处也以基础的方法去证明此级数发散。首先，从定义可知，无穷级数的敛散性是由其部分和的敛散性所确定的，1 − 2 + 3 − 4 + …的部分和为：^[1]

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

此部分和序列的一个显著特点是每个整数都恰好出现一次——如果将空部分和计入还包括0——因此它还说明了整数集${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是可数的。^[2]很明显的，不可能让变化的结果收敛到一个确定的数^{[注 2]}，因此1 − 2 + 3 − 4 + …发散。

稳定性与线性

由于各项 1, −2, 3, −4, 5, −6, … 以一种简单模式排列，级数1 − 2 + 3 − 4 + …可以透过移项以及逐项求和，再透过解方程得出一数值。暂时假设s = 1 − 2 + 3 − 4 + …这样的写法有意义——其中的s为常数，那么以下的计算将说明s = ¹⁄₄：

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}4s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&({\color {Blue}\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Red}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Purple}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&-\,1\,+&({\color {OliveGreen}\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots })\quad \,\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,(\,{\color {Blue}1}\,{\color {Red}-\,2}\,{\color {Purple}-\,2}\,{\color {OliveGreen}+\,3}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,{-\,\color {Blue}2}\,{\color {Red}+\,3}\,{\color {Purple}+\,3}\,{\color {OliveGreen}-\,4}\,)\;\;\;\,&+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}3}\,{\color {Red}-\,4}\,{\color {Purple}-\,4}\,{\color {OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad &+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}-\,4}\,{\color {Red}+\,5}\,{\color {Purple}+\,5}\,{\color {OliveGreen}-\,6}\,)\,+\,\cdots ]\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots ]\ \;\\4s\ &=&\ 1\ \,\;\end{smallmatrix}}}$ 

因此，s = ¹⁄₄^[3]，如右图所示。

尽管1 − 2 + 3 − 4 + …没有通常意义的和，等式s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄却可被赋予另外一种意义。发散级数之“和”的一种普遍定义被称为一种求和法或可和法——通常是对于符合特定条件的一类级数可求和。求和法有许多种（部分将在下文中有所描述），这些方法跟普通求和也许有着一些共同的特性，例如：

1. 线性：设A^Σ为一种级数求和法。如果对于A^Σ可定义其上的那些序列，A^Σ是个线性泛函的话，则简单地称A^Σ是线性的。也就是说，对于序列r, s和标量k，有A^Σ(k r+s)=k A^Σ(r)+A^Σ(s)。
2. 稳定性：如果a是一个初项为a₀的序列，设a^*为a去掉初项后的序列，即对于一切n有a^*_n=a_n+1，那么A^Σ(a)有定义当且仅当A^Σ(a^*)有定义。而且，A^Σ(a)=a₀ + A^Σ(a^*)。

因此，以上的计算实际上证明的是下面的内容：给出任意的线性且稳定的可和法，并能对级数1 − 2 + 3 − 4 + …求和，则结果必为¹⁄₄。此外，由于：

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\;\;\;&+\quad \quad \ &(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \;\;\;\;\;\\\\\ &=&1\,+&(\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,&+\,1\,-\,2\,+&(\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,\cdots )\qquad \ \;\;\;\;\,\\\\\ &=&0\,+&(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)&+\quad \quad \ &(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots )\\\\{\frac {1}{2}}&=&\!&\ \ \ 1\,\quad -\quad 1&+\quad \quad \ &\ \;1\quad -\quad 1\quad \cdots \end{smallmatrix}}}$ 

故此方法也一定能对格兰迪级数求和，并得结果为${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}$ 

柯西乘积

1891年，恩纳斯托·切萨罗在他的一篇论文中指出有可能将发散级数严谨地纳入微积分学，并写道：

已可写出

${\displaystyle (1-1+1-1+\cdots )^{2}=1-2+3-4+\cdots }$ 

并断定两边均等于¹⁄₄。^[4]

对切萨罗而言，这个等式是他前一年发表的一个定理的应用，该定理可说是在历史上关于可求和发散级数的第一个定理。关于此求和法的详细内容请见下文；其中心思想是：1 − 2 + 3 − 4 + …是1 − 1 + 1 − 1 + …对1 − 1 + 1 − 1 + …的柯西乘积。

两个无穷级数的柯西乘积可被定义，即使在它们都发散的时候。例如，若Σa_n= Σb_n= Σ(−1)ⁿ，柯西乘积的项由有穷对角线求和的方式给出：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}$ 

积级数为：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }$ 

所以，如果有一种求和法可以保持两个级数的柯西乘积，并能得出${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\tfrac {1}{2}}}$ 的结果，那么它也能够求出${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\tfrac {1}{4}}}$ 。由前一节的结果可知，当方法是线性、稳定并保持柯西乘积的时候，1 − 1 + 1 − 1 + …与1 − 2 + 3 − 4 + …的可求和之间是等价的。

切萨罗的定理是一个微妙的例子。级数1 − 1 + 1 − 1 + …在最弱的意义上是切萨罗可求和，称作(C, 1)-可求和，然而1 − 2 + 3 − 4 + …则需要切萨罗的定理的一个更强的形式^[5]，它是(C, 2)-可求和的。由于切萨罗的定理的所有形式均为线性且稳定的，所得的值正是此前计算所得的。

切萨罗与赫尔德

若1 − 2 + 3 − 4 + …的(C, 1)切萨罗和存在，要找到其数值就需要计算该级数部分和的算术平均值。^[6] 部分和为：

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

这些部分和的算术平均值为：

1, 0,²⁄₃, 0,³⁄₅, 0,⁴⁄₇, ….

此平均值序列不收敛，因此1 − 2 + 3 − 4 + …不是切萨罗可求和。

切萨罗求和有两种有名的广义化：让这些在概念上更简单的是(H, n)法的序列，其中n为自然数。(H, 1)和为切萨罗求和，更高的方法则重复平均值的计算。在上文中，偶数项平均值趋近于¹⁄₂，奇数项平均值则全部等于0，所以平均值的平均值趋近于 0 与¹⁄₂的平均数，即¹⁄₄。^[7]因此，1 − 2 + 3 − 4 + …是(H, 2)-可求和，其值为¹⁄₄。

符号“H”代表奥图·赫尔德。1882年，他第一次证明了被现在数学家们所看作的在阿贝耳求和与(H, n)求和之间的关系；-1 + 2 − 3 + 4 − …是他给的第一个例子^[8]。¹⁄₄是1 − 2 + 3 − 4 + …的(H, 2)和这个事实也保证了它是阿贝耳和；这些都将在下文直接予以证明。

另外一个常用的切萨罗求和的广义化，是(C, n)法的序列。已经证明了(C, n)求和与(H, n)求和均能给出相同的结果，但是它们却有不同的历史背景。在1887年，切萨罗已经接近于陈述出(C, n)求和的定义了，但是他只给出了少量的例子。特别的，他在计算1 − 2 + 3 − 4 + …为¹⁄₄时所采用的方法可能是(C, n)的另一种描述，但是在当时并没有对其进行证明。他在1890年正式定义了(C, n)法，以陈述他的定理：一个(C, n)-可求和级数与一个(C, m)-可求和级数的柯西乘积是(C, m + n + 1)-可求和。^[9]

阿贝耳求和

在一份1749年的报告中，莱昂哈德·欧拉承认级数1 − 2 + 3 − 4 + …是发散的，但还是决定要对其求和：

欧拉曾几次提议将“和”这个词广义化。在1 − 2 + 3 − 4 + …的情况下，他的设想与现在所知的阿贝耳求和相似：

至少在当绝对值 |x| < 1 时，有许多方式去验证欧拉的下列等式正确：

${\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}$ 

可以对右边作泰勒展开，或使用正规的多项式长除。从左方开始，可采用上文的一般启发式，并尝试乘以两次(1+x)，或对几何级数1 − x + x² − …求平方。欧拉似乎也提出可以对后者级数的每项求导。^[12]

以现代的观点看，级数 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … 并没有定义一个在x = 1时的函数，因此不能简单地把值代入到其相应的表达式。不过由于此级数在|x| < 1时定义了一个函数，所以仍可取x趋近于1时的极限，而这就是阿贝耳和的定义：^[6]

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}$ 

欧拉与波莱尔

欧拉对该级数还使用了另外一种技巧：欧拉变换，这是他自己的发明。要计算欧拉变换，首先要有可形成交错级数的正项序列——在此情况下为1, 2, 3, 4, …。将此序列中的首项标示为 a₀。

下一步需要1, 2, 3, 4, …的前向差分序列；这恰好是1, 1, 1, 1, …。将该序列的首项标示为 Δa₀。欧拉变换也基于差分的差分，以及更高的迭代，但是在1, 1, 1, 1, …各项之间的前向差分均为0。1 − 2 + 3 − 4 + …的欧拉变换便可定义为：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$ 

用现代术语来说，1 − 2 + 3 − 4 + …是欧拉可求和且其值为¹⁄₄。

欧拉可求和也蕴涵了另一种可求和性。将1 − 2 + 3 − 4 + …表示为：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}$ 

就有了相关的处处收敛级数：

${\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}$ 

因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波莱尔和为：^[13]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$ 

尺度分离

赛切夫与Woyczyński只通过两个物理原理便得出了1 − 2 + 3 − 4 + … =¹⁄₄，这两个原理分别是：无穷小松弛（infinitesimal relaxation）与尺度分离（separation of scales）。为求表达准确，这些原理促使了他们去定义一系列的“φ-求和法”，所有这些方法都可以将级数求和得¹⁄₄：

• 如果φ(x)是一个函数，其一、二阶导数在(0, ∞)上是连续且可积的，有φ(0) = 1 ，并且φ(x)与xφ(x)在+∞时的极限均为0，则：^[14]

${\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}$ 

该结果推广了阿贝耳求和，当取φ(x) = exp(−x)时可得到先前的等式。此一般陈述可通过将关于m的级数中的项配对，并将表达式变换为黎曼积分的形式予以证明。在后一步中，对1 − 1 + 1 − 1 + …的相应证明（英语：Summation of Grandi's series#Separation of scales）运用了中值定理，但在这里需要泰勒公式中更强的拉格朗日形式。

1 − 1 + 1 − 1 + …的三重柯西乘积为1 − 3 + 6 − 10 + …，为三角形数的交错级数；其阿贝耳与欧拉和为¹⁄₈。^[15]1 − 1 + 1 − 1 + …的四重柯西乘积为1 − 4 + 10 − 20 + …，为四面体数的交错级数，其阿贝耳和为¹⁄₁₆。

另一个1 − 2 + 3 − 4 + …在略微不同的方向的广义化是一般级数1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …。对正整数n来说，此级数有下列的阿贝耳和：^[16]

${\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}$ 

其中B_n是伯努利数。对大于0的偶数n，则化约为：

${\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}$ 

后一个和成为尼尔斯·亨利克·阿贝尔特别嘲笑的对象，在1826年时他说：

“发散级数纯粹是魔鬼的工作，胆敢去找到任何证明它们的行为都是羞耻的。如果用到它们，可以从中获得想要的东西；同时也是它们，制造了如此多的不愉快与如此多的悖论。试问能想到比下面内容更令人惊恐的东西吗：

0 = 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + etc.

其中，n为正数。这是一个笑料，朋友。”^[17]

切萨罗的老师欧仁·查理·卡塔兰也轻视发散级数。在卡塔兰的影响下，切萨罗早期提出1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …的“习用式”是“荒谬的等式”；而在1883年，切萨罗表明了当时的一个典型看法：这些公式是错的，不过在某些场合在形式上是有用的。最后，在他1890年的书《Sur la multiplication des séries》中，切萨罗从定义开始采用了一个现代的做法。^[18]

此级数在n为非整数值的情况亦有所研究；这产生了狄利克雷η函数。欧拉研究1 − 2 + 3 − 4 + …相关级数的部分动机是η函数的函数方程，这直接导向了黎曼ζ函数的函数方程。欧拉在正偶数（包括在巴塞尔问题中）时找到这些函数值的建树已让他闻名，他也试图找到正奇数（包括在阿培里常数中）时的值，但这个问题直到今天仍是难以解决的。η函数通过欧拉的方法解决会比较简单，因为它的狄利克雷级数是处处阿贝耳可求和；而ζ函数的狄利克雷级数则非常难以对发散的部分求和。^[19]例如，1 − 2 + 3 − 4 + …在η函数中的相似级数是非交错级数1 + 2 + 3 + 4 + …，该级数在现代物理学上有很深的应用，不过需要非常强的方法才能求和。

• 伯努利数
• 黎曼ζ函数
• 泰勒级数
• 泛函方程

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