狄利克雷η函数

大多数交错级数的串行加速技术都可应用在η函数的求值上。一个特别简单，合理的方法是应用交错序列的欧拉变换，得到：

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.}$ 

注意第二个求和里面是前向差分。

Borwein方法

彼得·波温（Peter Borwein）使用包含切比雪夫多项式的近似值用来得到η函数的高效求值方法。

如果：

${\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}$ 

则：

${\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}$ 

当${\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}}$ 时，误差项 γ_n范围：

${\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|).}$ 

误差分布中的系数${\displaystyle 3+{\sqrt {8}}\approx 5.8}$ 显示Borwein级数随着n的增加而很快集中于一点。

• η(0) = ¹⁄₂, 格兰迪级数（ 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·）的阿贝尔和。
• η(−1) = ¹⁄₄, 1-2+3-4+…的阿贝尔和。
• 对于大于1的整数k ，如果B_k是第k个伯努利数，那么

  ${\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}$ 

同样的:

${\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}$ , 这是交错调和级数

${\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}$ 

${\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}$ 

${\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}$ 

${\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}$ 

${\displaystyle \eta (10)={{511\pi ^{10}} \over 6842880}}$ 

${\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}}$ 

自变量为正偶数的函数生成式为：

${\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}.}$ 

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.