柯西乘积

一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛）${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ ：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},}$ 

一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为如下的离散卷积形式：

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},}$ 

这里 ${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots }$ 

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。

人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}$ 

等于如下乘积：

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}$ 

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。

有穷级数

对于${\displaystyle i>n}$ 、${\displaystyle i>m}$ ，有${\displaystyle x_{i}=0}$ ，${\displaystyle y_{i}=0}$  即为有穷级数，则${\displaystyle \sum x}$ 和 ${\displaystyle \sum y}$  柯西乘积可以展开为${\displaystyle (x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})}$ ，因此可以直接计算乘积。

无穷级数

• 对某些${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ，构造${\displaystyle x_{n}=a^{n}/n!\,}$ 和${\displaystyle y_{n}=b^{n}/n!\,}$ ，由定义和二项式展开可知：

${\displaystyle C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}}$ 

形式上， ${\displaystyle \exp(a)=\sum x}$ ，${\displaystyle \exp(b)=\sum y}$ ，我们已表明${\displaystyle \exp(a+b)=\sum C(x,y)}$ 。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ 有${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}$ 

• 另外一个例子，令${\displaystyle x(n)=1}$ （${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ），则 ${\displaystyle C(x,x)(n)=n+1}$ 对所有${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 成立，则柯西乘积 ${\displaystyle \sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}$  ，该乘积不收敛。

令x, y为实数数列，弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提出，如果级数${\displaystyle \sum y}$ 收敛到Y，且级数${\displaystyle \sum x}$ 绝对收敛到X，则他们的柯西乘积 ${\displaystyle \sum C(x,y)}$ 收敛到XY。

对于两个级数为条件收敛时，结论未必成立。如下反例所示：

例子

考虑下述两交错级数：

${\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,}$ 

它们都是收敛的（其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散）。其柯西乘积的项由下式给出：

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}}$ 

其中整数 n ≥ 0。因为对于所有 k ∈ {0, 1, ..., n} 我们都有不等式 k + 1 ≤ n + 1 及 n – k + 1 ≤ n + 1，故对分母中的根式有 √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1。因此，由于共有 n + 1 个被加项，故对于所有的整数 n ≥ 0有

${\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1}$ 

因此，c_n 在 n → ∞ 时并不趋于 0，级数 ∑ c_n 发散（项测试）。

梅尔滕斯定理的证明

令${\displaystyle X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}}$ ，${\displaystyle Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}}$  ，${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)}$ ，${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}}$  (重排后)。

则${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}}$ ，对任意给定的 ε > 0，因为${\displaystyle \sum x}$ 绝对收敛，${\displaystyle \sum y}$ 收敛，因此存在一个整数N，对于任意n ≥ N ${\displaystyle |Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}}$  ，和存在一个正整数M，对于所有 ${\displaystyle n\geq M}$  ，有${\displaystyle |x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon /4}{N\sup |Y_{n}-Y|+1}}}$ （由级数绝对收敛，则式子收敛到0），同样的，存在一个整数L ，如果有 ${\displaystyle n\geq L}$ ，则 ${\displaystyle |X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}}$ 。

因此，对于所有n大于N, M, L，有：

${\displaystyle |C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon }$ 

根据收敛的定义，即：${\displaystyle \sum C(x,y)\to XY.}$ 

如果x，y是实数数列，且${\displaystyle \sum x\to A}$ ，${\displaystyle \sum y\to B}$ ，则有：

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB.}$ 

所有上述证明也可推广到${\displaystyle \mathbb {C} }$ 复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积的欧式空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上。这种情况下，如果两组数列绝对收敛，则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积 。

我们可以定义柯西乘积为双向无限数列，视为${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如：常数级数1和其本身的柯西乘积，${\displaystyle (\dots ,1,\dots )}$ 。

有的有一些配对，比如任何级数与一个有限级数的乘积，${\displaystyle \ell ^{1}\times \ell ^{\infty }}$ 的乘积，这与L^p空间有关。