方程求解

考虑一个具一般性的例子，有一个以下的方程：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c}$ ,

其中${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ 为未知数，而${\displaystyle c}$ 为常数。其解为反像集合的成员

${\displaystyle f^{-1}[c]=\left\{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in T_{1}\times \ldots \times T_{n}|f\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=c\right\}}$ 

其中${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$ 为函数${\displaystyle f}$ 的定义域。注意解集合可能为空集合（没有解）、单元素集合（唯一解）、有限个元素的集合及无限多个元素的集合（有无限多的解）。

例如，以下的方程：

${\displaystyle 3x+2y=21z}$ 

其未知数为${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ 及${\displaystyle z}$ ，可以在等式二侧同减${\displaystyle 21z}$ ，得到以下的式子：

${\displaystyle 3x+2y-21z=0}$ 

以此例而言，方程不会只有唯一解，方程解的个数有无限多个，可以写为以下的集合

${\displaystyle \left\{\left(x,y,z\right)|3x+2y-21z=0\right\}}$ .

其中一个特殊解为${\displaystyle x=0,y=0,z=0}$ ，而${\displaystyle x=3,y=6,z=1}$ 和${\displaystyle x=8,y=9,z=2}$ 也是其解。解集合描述一个三维空间中，恰好穿过上述三个点的平面。

若解集合（英语：solution set）为空集合，表示不存在${\displaystyle x_{i}}$ 使得以下方程成立

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c}$ ,

其中${\displaystyle c}$ 为一特定常数。

例如考虑一个经典的单变数例子，考虑定义域为整数的平方函数${\displaystyle f}$ ：

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ,

考虑以下方程

${\displaystyle f(x)=2}$ .

其解集合为${\displaystyle \left\{\right\}}$ ，是空集合。因为2不是任何整数的平方，因此不可能找到整数可以使以上方程成立。但若修改函数的定义域，将其定义域改为所有实数，则上式有二个解，其解集合为

${\displaystyle \left\{{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\right\}}$ .

有些方程的解集合可能形成一个平面或曲面。例如在学习基础数学时，有提及形式为${\displaystyle ax+by=c}$ 的方程，其中${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , 和${\displaystyle c}$ 都是实数的常数，且${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 至少有一个不为零，其解集合形成向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 中的一条直线。不过有些解集合不易用图解表示，例如${\displaystyle ax+by+cz+dw=k}$ （${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ , and ${\displaystyle k}$ 为实数的常数）的解集合会形成超平面。

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