正三角形镶嵌

在几何学中，正三角形镶嵌、又称为正三角方格[3]是一种正多边形在平面上的密铺，又称正镶嵌图。

正三角形镶嵌
正三角形镶嵌
类别正镶嵌
对偶多面体正六边形镶嵌在维基数据编辑
识别
鲍尔斯缩写
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		trat在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）		node 6 node 3 node_1 
node 6 node_h 3 node_h 
node_1 split1 branch  = node_h 6 node 3 node 
node_h split1 branch_hh 
施莱夫利符号{3,6}
{3[3]}
威佐夫符号
（英语：Wythoff symbol）		6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
康威表示法dH
特殊面或截面
梵奥斯截面
（英语：Van_Oss_polygon）		无限边形[2]
组成与布局
顶点图3.3.3.3.3.3（或36）
顶点布局
（英语：Vertex_configuration）		36
对称性
对称群p6m, [6,3], (*632)
p3m1, [3[3]], (*333)
p3, [3[3]]+, (333)
旋转对称群
（英语：Rotation_groups）		p6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
图像
Triangular tiling vertfig.png
3.3.3.3.3.3（或36）
（顶点图）
Uniform tiling 63-t0.png
正六边形镶嵌
（对偶多面体）

命名

康威称正三角形镶嵌为deltille。deltille一词来自于外形为三角形的希腊字母 Delta （Δ），有时也称作六角化正六边形镶嵌。

性质

由于正三角形镶嵌是由正三角形组成，又因正三角形内角为60度，因此每个顶点周围都有6个三角形，且刚好占满360度。

正三角形镶嵌在施莱夫利符号中，用{3,6}表示。

正三角形镶嵌是三个的平面正镶嵌图之一。另外两个是正方形镶嵌和正六边形镶嵌。

一般将画在纸上的正三角方格称作正三角格纸[3]，正三角格纸是用来画三维立体图或三维透视图用的。使用正三角格纸作图会比较容易做出三维立体图或三维透视图，而且图形看起来比较接近三维[3]。

上色的正三角形镶嵌

正三角形镶嵌有九种不同的上色方式，他们依顶点周为颜色数来命名： 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。

上色
索引 		111111 121212 121314 121213
图示
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
4
1
2
1
2
1
3
1
2
上色        
对称群 *632
(p6m)
[6,3] 		*333
(p3m1)
[3[3]] = [1+,6,3] 		333
(p3)
[3[3]]+		 3*3
(p31m)
[6,3+]
Wythoff符号（英语：Wythoff symbol） 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin Diagram）           =                

A2晶格和圆堆砌

正三角形镶嵌的顶点排布被称作A2晶格[4]。正三角形镶嵌是单纯形堆砌（英语：Simplectic honeycomb）家族的二维成员。

A2*晶格（又称A23），可由所有3种A2晶格组合得来，就等价于A2晶格。

    +     +     =     的对偶 =    

以正三角形镶嵌的顶点为圆心，我们可以得到二维的最密圆堆砌（英语：Circle Packing），每个圆都与6个相邻圆接触（接触数（英语：kissing number）），堆砌密度为 或90.69%。由于3个A2晶格组合还是A2晶格，这种圆堆砌种的圆可被涂成三种颜色。

A2晶格的沃罗诺伊图是正六边形镶嵌，它也是正三角形镶嵌的对偶。因此，正六边形镶嵌也与最密圆堆砌有直接的对应关系。

A2晶格圆堆砌 A*
2晶格圆堆砌
   
正六边形镶嵌
   

相关半正镶嵌

正三角形镶嵌家族的半正镶嵌
对称性: [6,3], (*632) [6,3]+, (632) [1+,6,3], (*333) [6,3+], (3*3)
                                                           
                   
{6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h{6,3} h1,2{6,3}
半正对偶
                                                           
                 
V6.6.6 V3.12.12 V3.6.3.6 V6.6.6 V3.3.3.3.3.3 V3.4.12.4 V.4.6.12 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.3.3

从六边形镶嵌可利用“交错”操作将六边形镶嵌变成三角形镶嵌。

交错2n边形镶嵌系列：
球面镶嵌 多面体 欧式镶嵌 紧凑双曲镶嵌 仿紧空间 非紧空间
n 1 2 3 4 5 6 ∞
2n边形镶嵌 {2,3} {4,3} {6,3} {8,3} {10,3} {12,3} {∞,3} {iπ/λ,3}
交错2n边形镶嵌  
h{2,3}
      		 
h{4,3}
      		 
h{6,3}
      		 
h{8,3}
      		 
h{10,3}
      		 
h{12,3}
      		...  
h{∞,3}
      		 
h{iπ/λ,3}
     

相关

参考文献

  1. ^ Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2 
  2. ^ Coxeter, Complex Regular polytopes,[1] p.141
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 《图解数学辞典》天下远见出版 P.50  

阅读

  • Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
  • 埃里克·韦斯坦因. Triangular Grid. MathWorld. 
  • Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2. bendwavy.org. 
  • Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  p35
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
  • Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481