六角化三角形镶嵌
在几何学中，六角化三角形镶嵌又称为四角化菱形镶嵌（英语：Kisrhombille tiling）是一种平面镶嵌，其为半正镶嵌大斜方截半六边形镶嵌的对偶镶嵌[1]，整体由直角三角形拼合，密铺于欧几里得平面。六角化三角形镶嵌是将三角形镶嵌中的每一个正三角形从重心分割为六个全等的直角三角形所组成的镶嵌，其分割出来的三角形角度为30-60-90，其面的布局以符号V4.6.12表示形成的公共顶点有4个三角形、6个三角形和12个三角形的三种公共顶点。
 欧几里得平面 | ||
| 类别 | 半正镶嵌对偶 平面镶嵌 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 大斜方截半六边形镶嵌 | |
| 数学表示法 | ||
| 考克斯特符号 |    | |
| 施莱夫利符号 | dtr{6,3} | |
| 康威表示法 | dtrH | |
| 组成与布局 | ||
| 面的种类 | 30-60-90三角形 | |
| 面的布局 | V4.6.12 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | p6m, [6,3], (*632) | |
| 旋转对称群 | p6, [6,3]+, (632) | |
| 特性 | ||
| 面可递 | ||
| 图像 | ||
| ||
结构
康威称六角化三角形镶嵌为kisrhombille[2]，其意为四角化菱形镶嵌，因为此镶嵌可以借由菱形镶嵌将每个面加入高为0的四角锥，即Kleetope变换，构成。该镶嵌有时被称为四角化六阶三菱形镶嵌（3-6 kisrhombille）或六角化六阶三角形镶嵌，从其他类似的双曲镶嵌分开来，如四角化七阶三菱形镶嵌（3-7 kisrhombille）即六角化七阶三角形镶嵌。它也可以视为将六边形镶嵌中的每一个正六边形从重心分割为12个全等的直角三角形所组成的镶嵌，即十二角化六边形镶嵌
对偶
六角化三角形镶嵌的对偶镶嵌为每个顶点为1个正方形、1个六边形和1个十二边形公共顶点的大斜方截半六边形镶嵌。
相关多面体与镶嵌
三角化三角形镶嵌是大斜方截半六边形镶嵌的对偶镶嵌，而大斜方截半六边形镶嵌是正六边形镶嵌通过大斜方截半操作得到的半正镶嵌，其与正六边形镶嵌拥有相似的对称性：
| 对称性: [6,3], (*632) | [6,3]+, (632) | [1+,6,3], (*333) | [6,3+], (3*3) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {6,3} | t0,1{6,3} | t1{6,3} | t1,2{6,3} | t2{6,3} | t0,2{6,3} | t0,1,2{6,3} | s{6,3} | h{6,3} | h1,2{6,3} | |
| 半正对偶 | ||||||||||
| V6.6.6 | V3.12.12 | V3.6.3.6 | V6.6.6 | V3.3.3.3.3.3 | V3.4.12.4 | V.4.6.12 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.3.3 | ||
六角化三角形镶嵌是一系列大斜方截半多面体或镶嵌的对偶之一，该系列从球面到平面一直延伸至双曲平面。他们皆具有通式为V4.6.2n面布局的拓扑结构，这个系列专用于每个顶点具有偶数形式，通过在从多面体一直延伸到无限面体，及平面，直到 成为双曲镶嵌，终点是大斜方截半三阶无限边形镶嵌（伪无限面体，pseudohedron）。
由于每个顶点皆为偶数个面的公共顶点，因此这厢多面体和镶嵌可以透过交替的两种颜色显示，使所有相邻面都有不同的颜色。
| 对称性 *n32 [n,3] |
球面 | 欧氏镶嵌 | 紧凑型双曲镶嵌 | 仿紧型镶嵌 | 非紧型镶嵌 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *232 [2,3] D3h |
*332 [3,3] Td |
*432 [4,3] Oh |
*532 [5,3] Ih |
*632 [6,3] P6m |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[iπ/λ,3] | |
| 考克斯特纪号 施莱夫利符号 |
tr{2,3} |
tr{3,3} |
tr{4,3} |
tr{5,3} |
tr{6,3} |
tr{7,3} |
tr{8,3} |
tr{∞,3} |
tr{iπ/λ,3} |
| 大斜方截半 顶点布局 |
|||||||||
| 顶点图 | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.∞ |
| 对偶顶点布局 | |||||||||
| 考克斯特纪号 | |||||||||
| 大斜方截半 对偶 |
|||||||||
| 面布局 | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.∞ |
参见
参考文献
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Dual tessellation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, (Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p288 table)
- Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p.58-65)
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p41