伪多边形

几何学中,伪多边形(英语:pseudogon)又称为超无限边形,是一种位于双曲平面上的无限边形,具有伪多边形群英语Coxeter_notation#Rank two groups(pseudogonal group)的对称性诺曼·约翰逊英语Norman Johnson (mathematician)将一般的发散镜射形式的无限边形称为伪多边形,其外接圆为极限圆,正伪多边形在施莱夫利符号中用{iπ/λ}表示,其中λ表示发散垂直镜射的周期距离[1],用来表示其拓扑结构具有比无限边形更多的边与顶点,换句话说,若其不为发散镜射形式则只能看做为普通的无限边形,也因此伪多边形无法在平面上存在。此外,伪多边形也可以解释为未完全具备多边形性质的多边形[2],此种情况下未必需要位于双曲面,这种伪多边形其英文也可以写为pseudo polygon[3][4]

伪多边形
超无限边形
Pseudogon example.png
伪多边形(Pseudogon)
双曲正无限边形
双曲面上的伪多边形。
类型正多边形
二维双曲镶嵌
对偶自身对偶
iπ/λ
顶点iπ/λ
施莱夫利符号{iπ/λ}
{∞}
考克斯特图英语Coxeter diagramnode_1 ultra node 
对称群[iπ/λ]
内角双曲平角
特性非严格凸, 圆内接多边形, 等边多边形, 等角多边形, 双曲线, 发散

正伪多边形

 
位于三阶伪多边形(iπ/λ,λ=π/9)的伪多边形与其外接圆超圆形。

正伪多边形(英语:regular pseudogon)又称双曲正无限边形,是双曲线H1(并非欧几里得线)分割为每段长度为2λ线段形成的无限边形,为具有[iπ/λ]考克斯特群的罗氏无限边形,可以视为正无限边形的一种类似物。[5]依据其考克斯特群,其边数和顶点数将会是iπ/λ个,事实上它顶点数为正无穷大,边长为2λ,其中iπ/λ用来表示超平形(ultraparallel)的镜射,虚数值使镜射变换的角度以一个双曲线的形式,而存在等式cos(π/n) = cos(πλ/(iπ)) = cosh(2λ),而λ∈{ π/n | n∈Z }。

其亦可以视为二维空间的双曲密铺,和三维双曲密铺如:正七边形镶嵌七阶三角形镶嵌等,做类比[6]。其属于非紧凑空间

正伪多边形无法在平面上存在,但可以构造在双曲面。其可以拥有外接圆内切圆,但他们必须是双曲超圆形。

扭歪伪多边形

扭歪伪多边形(英语:Skew pseudogon)是伪多边形对应的扭歪多边形,即位于非紧双曲空间的双曲扭歪无限边形。

 
围绕着伪多边形的三角形也可以构造出等边扭歪伪多边形
外接圆为超圆形的无限边形
{3,7}的皮特里多边形 t{3,7}的皮特里多边形
 
正扭歪
 
半正扭歪

镶嵌与密铺

正伪多边形不能构成平面镶嵌,但可以构成双曲镶嵌,如三阶伪多边形镶嵌,其考克斯特记号计为     。该镶嵌可以视为伪多边形在三维空间的类比,称为伪多面体(pseudohedron)。

二个伪多边形即可完全镶嵌整个双曲平面,称为二阶伪多边形镶嵌

罗式镶嵌
半正
∞.∞ 2 4.4.∞ 3.3.3.∞
       
{iπ/λ, 2}
     
{2, iπ/λ}
     
t{2, iπ/λ}
     
sr{2, iπ/λ}
     
半正伪多边形
对称群:[iπ/λ,iπ/λ], (*iπ/λ iπ/λ 2) [iπ/λ,iπ/λ]+, (iπ/λ iπ/λ 2)
                                               
             
{9i,9i}
超无限阶
伪多边形镶嵌
t{9i,9i}
截角超无限阶
伪多边形镶嵌
r{9i,9i}
截半超无限阶
伪多边形镶嵌
2t{9i,9i}=t{9i,9i}
截角超无限阶
伪多边形镶嵌
2r{9i,9i}={9i,9i}
超无限阶
伪多边形镶嵌
rr{9i,9i}
小斜方截半
超无限阶
伪多边形镶嵌
tr{9i,9i}
大斜方截半
超无限阶
伪多边形镶嵌
sr{9i,9i}
扭棱超无限阶
伪多边形镶嵌
[iπ/λ,3]非紧凑双曲半正镶嵌系列
对称群:[iπ/λ,3], (*∞32) [iπ/λ,3]+
(∞32)
[1+,iπ/λ,3]
(*∞33)
[iπ/λ,3+]
(3*∞)
考克斯特记号                                                                  
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    or    
      =
    or    
     
=    
图像              
顶点图 ∞.∞.∞ 3.∞.∞ 3.∞.3.∞ ∞.6.6 3 3.4.∞.4 4.6.∞ 3.3.3.3.∞ 3.∞.3.∞.3.∞
类比 {∞,3} t{∞,3} r{∞,3} t{3,∞} {3,∞} rr{∞,3} tr{∞,3} sr{∞,3} h{∞,3} h2{∞,3} s{3,∞}
半正对偶
考克斯特记号                                                            
图像              
顶点布局
类比
V∞3 V3.∞.∞ V(3.∞)2 V6.6.∞ V3 V4.3.4.∞ V4.6.∞ V3.3.3.3.∞ V(3.∞)3 V3.3.3.3.3.∞

高维类比

 
三阶七边形镶嵌蜂巢体的庞加莱模型,每个洞都是一个正七边形镶嵌[7]

伪多面体(pseudohedron)是伪多边形在三维空间的类比,即在三维非紧双曲空间中的无限面体,又称为超无限面体。例如三阶七边形镶嵌蜂巢体中的正七边形镶嵌,由于要使每个顶点都是3个正七边形镶嵌的公共顶点使得图形被变换到非紧双曲空间中,即几何中心跑到庞加莱模型外,其外接球为三维双曲极限球。

伪多胞体(pseudotope)则为非紧双曲镶嵌在四维或更高维度类比,例如四阶一百二十胞体堆砌英语Order-4 120-cell honeycomb[8]

但严格来说,伪多胞形(pseudotope)只会在二维双曲空间讨论,由于二维的考克斯特群表达到无穷之后仍为平面,因此只能用双曲镜射的方式以虚数表达双曲几何图形。

赫尔曼莫金记号 轨道流形英语Orbifold 考克斯特 考克斯特图英语Coxeter diagram
有限
Zn n n• [n]+     n
Dn nm *n• [n]     2n
仿射
Z ∞• [∞]+    
Dih m *∞• [∞]    
双曲
Z [πi/λ]+    
Dih [πi/λ]    

参见

参考文献

  1. ^ Johnson, Norman W. 11.2 The polygonal groups. Geometries and transformations. Cambridge University Press. 2018: 141. 
  2. ^ HSKR, K. L. Dr. cjl. 1989. PhD Thesis. SIMON FRASER UNIVERSITY.
  3. ^ 台北盆地聚落发展之空间分析页面存档备份,存于互联网档案馆国立台湾大学地理环境资源学系暨研究所 2005-10-31
  4. ^ 中学地理科常用英汉辞汇页面存档备份,存于互联网档案馆香港教育局
  5. ^ Johnson, Norman W英语Norman Johnson (mathematician). 11: Finite Symmetry Groups. Geometries and transformations. Cambridge University Press. 2018: 226 [2022-05-30]. (原始内容存档于2022-08-03). 
  6. ^ Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  p.296, Table II: Regular honeycombs
  7. ^ John Baez, Visual insights: {7,3,3} Honeycomb页面存档备份,存于互联网档案馆) (2014/08/01)
  8. ^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, p212-213)