数学百科

数学是什么

数学起源于人类早期的生产活动，是古代中国六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学的起点。数学的希腊语μαθηματικός (mathematikós)的含义是“爱好学问”，源于μάθημα（máthema）（“科学，知识，学问”）。数学最早是研究量、结构、变化以及空间模型的学科。在现代，数学又是利用逻辑形式研究现实世界的空间形式和数量关系的学科。右图为曼德博集合，一种分形。

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行列式是数学中的一个函数，将一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 映射到一个标量，记作 $\det(A)$ 或 $|A|$ 。在本质上，行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，行列式描述的是在n维向量空间中，一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数以及形式。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

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导数（英语：Derivative）是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数 $f$ 的自变量在一点 $x_{0}$ 上产生一个增量 $h$ 时，函数输出值的增量与自变量增量 $h$ 的比值在 $h$ 趋于0时的极限如果存在，即为 $f$ 在 $x_{0}$ 处的导数，记作 $f'(x_{0})$ 、 ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})$ 或 $\left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}$ 。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。对于可导的函数 $f$ ， $x\mapsto f'(x)$ 也是一个函数，称作 $f$ 的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

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