曼德博集合

曼德博集合可以用复二次多项式来定义：

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$ 

其中 ${\displaystyle c}$  是一个复数参数。

从 ${\displaystyle z=0}$  开始对 ${\displaystyle f_{c}(z)}$  进行迭代：

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,n=0,1,2,...}$ 

${\displaystyle z_{0}=0\,}$ 

${\displaystyle z_{1}=z_{0}^{2}+c=c\,}$ 

${\displaystyle z_{2}=z_{1}^{2}+c=c^{2}+c\,}$ 

每次迭代的值依序如以下序列所示：

${\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}$ 

不同的参数 ${\displaystyle c}$  可能使序列的绝对值逐渐发散到无限大，也可能收敛在有限的区域内。

曼德博集合 ${\displaystyle M}$  就是使序列不延伸至无限大的所有复数 ${\displaystyle c}$  的集合。

• 自相似
• 面积为1.5065918561^[1][2]

定理一

若 ${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$ ，则 ${\displaystyle c\in {M}}$ 

证明：

假设 ${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$  为真

则${\displaystyle |z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}$ 

第一步：

当 ${\displaystyle n=2\,}$  时

${\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\leq |c^{2}|+|c|=|c|^{2}+|c|}$ 

因为 ${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$ 

${\displaystyle |c|^{2}+|c|\leq {\frac {1}{16}}+{\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}$ 

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{2}|<{\frac {1}{2}}}$ 

第二步：

假设 ${\displaystyle |z_{n}|<{\frac {1}{2}}\,}$  成立

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\leq |z_{n}|^{2}+|c|<\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}}$ 

由上式可得知 ${\displaystyle |z_{n+1}|<{\frac {1}{2}}}$ 

由数学归纳法可得知对于所有的n(n=1,2,...)，${\displaystyle |z_{n}|\,}$  皆比 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,}$  小。

当n趋近无限大时 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$  依然没有发散，所以 ${\displaystyle c\in {M}}$ ，故得证。

定理二

若 ${\displaystyle c\in {M}}$ ，则 ${\displaystyle |c|\leq {2}}$ 

证明：

假设 ${\displaystyle |c|>2\,}$ 

则 ${\displaystyle |z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,}$ 

第一步：

当 ${\displaystyle n=2\,}$  时

${\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\geq |c^{2}|-|c|=|c|^{2}-|c|}$ 

由 ${\displaystyle |c|>2\,}$ ，左右同乘 ${\displaystyle |c|\,}$  再减去 ${\displaystyle |c|\,}$  可得到下式

${\displaystyle |c|^{2}-|c|>2|c|-|c|=|c|\,}$ 

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{2}|>|c|\,}$ 

第二步：

假设 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$  成立，则 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$ 

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}$ 

因为 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$ 

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}$ 

由 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$ ，左右同乘 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$  再减去 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$  可得到下式

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}$ 

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}$ 

由数学归纳法可得知 ${\displaystyle 2<|{z_{1}}|<|{z_{2}}|<...<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|\,}$ ，可看出随着迭代次数增加 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$  逐渐递增并发散。

假如${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 不发散，则收敛于某个常数${\displaystyle a>|c|>2}$ ,

由${\displaystyle |z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|}$  再取极限得 ${\displaystyle a\geq a^{2}-|c|}$  即 ${\displaystyle a^{2}-a\leq |c|}$ 。

又 ${\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|}$ ，矛盾，故${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 发散。

所以若 ${\displaystyle |c|>2\,}$ ，则 ${\displaystyle c\notin {M}}$ ，故得证。

定理三

若 ${\displaystyle c\in {M}}$ ，则 ${\displaystyle |z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)}$ 

证明：

要证明若 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$ ，则 ${\displaystyle c\notin {M}}$ 

首先分别探讨 ${\displaystyle |c|>2\,}$  与 ${\displaystyle |c|\leq 2}$  两种情形

由定理二可知道 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$  且 ${\displaystyle |c|>2\,}$  时， ${\displaystyle c\notin {M}}$ 。

接着要证明 ${\displaystyle |c|\leq 2}$  时的情况：

假设 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$ ，因为 ${\displaystyle |c|\leq 2}$  ，所以 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$  ，而

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}$ 

因为 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$ 

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}$ 

由 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$ ，左右同乘 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$  再减去 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$  可得到下式

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}$ 

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}$ 

由数学归纳法可得知 ${\displaystyle 2<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<...\,}$ ，可看出随着迭代次数增加 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$  逐渐递增并发散。

所以在 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$  且 ${\displaystyle |c|\leq 2}$  的情况下也是 ${\displaystyle c\notin {M}}$ 。

综合上述可得知不论 ${\displaystyle |c|\,}$ 为多少

若 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$ ，则 ${\displaystyle c\notin {M}}$ ，故得证。

利用定理三可以在程式计算时快速地判断 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 是否会发散。

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三，EscapeRadius可设置为2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次数超过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德博集合，并设置为黑色。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'colo函数用来决定颜色。
 End If
Next

决定颜色的一些方法

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps

Mathematica代码

mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}}, 
   Module[{z = z0, i = 1}, 
    While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
 Reverse@Transpose@
   Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]