卡塔兰猜想

此条目已列出参考文献，但因为没有文内引注而使来源仍然不明。 (2016年4月25日)
请加上合适的文内引注来改善这篇条目。

此条目需要补充更多来源。 (2016年4月25日)
请协助补充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。
致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索："卡塔兰猜想" — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。

卡塔兰猜想也称为米哈伊列斯库定理，是比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰在1844年提出的数论猜想，已在2002年4月由帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库（英语：Preda Mihăilescu）证明了这猜想，因此也称为米哈伊列斯库定理，证明大幅使用了分圆域和伽罗华模（英语：Galois module）。

此定理断言除了 $8=2^{3}$ ， $9=3^{2}$ ，没有两个连续整数都是正整数的幂（即次方数）；以数学方式表述为：不定方程 $x^{a}-y^{b}=1$ 的大于1的正整数 $x,y,a,b$ 只有唯一解 $x=3,y=2,a=2,b=3$ 。

历史

在卡塔兰之前已有人考虑过类似的问题。

1320年左右，莱维·本·热尔松（英语：Levi ben Gerson）（1288年—1344年）证明2和3的幂之间只有8和9相差是1。
莱昂哈德·欧拉证明，x² - y³ = 1只有一解：x = 3,y = 2。
勒贝格证明了方程x^a - y² = 1，a > 1 没有正整数解。
1965年柯召证明方程x² - y^b = 1，b > 1 只有一个解。

于是卡塔兰猜想只余下 $a,b$ 为奇素数的情况。

1976年罗贝特·泰德曼(Robert Tijdeman)证明卡塔兰猜想的方程只有有限个解。雷·斯坦纳(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奥特（Maurice Mignotte）也对这猜想作出贡献。
皮莱猜想（Pillai's conjecture）：把卡塔兰猜想一般化，推测正整数的幂之间的差趋向无限大；换句话说，对任何正整数，仅有限多对正整数的幂的差是这个数。这猜想现在仍未解决。若abc猜想成立，则皮莱猜想也成立。

参阅

埃里克·韦斯坦因. Catalan's conjecture. MathWorld.
Ivars Peterson's MathTrek（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture