Abc猜想

对正整数n，${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$ 表示${\displaystyle n}$ 的质因数的积，称为n的根基（radical）。例如

rad(16) = rad(2⁴) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整数a, b, c 彼此互质，且a + b=c，“通常”会有c < rad(abc)，例如：

${\displaystyle a=2}$ , ${\displaystyle b=7}$ , ${\displaystyle c=9}$ ：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=42>c}$ 。

${\displaystyle a=9}$ , ${\displaystyle b=16}$ , ${\displaystyle c=25}$ ：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30>c}$ 。

但是也有反例，例如：

${\displaystyle a=3}$ , ${\displaystyle b=125}$ , ${\displaystyle c=128}$ ：因为${\displaystyle 125=5^{3}}$ ，${\displaystyle 128=2^{7}}$ ，故此${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30<c}$ 。

如上有多于一个整数可被小的质数的高次幂整除，使rad(abc) < c，是较特殊的情况。ABC@Home计划目的在寻找更多这样的例子。

abc猜想（一）

对于任何${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }}$ 

abc猜想也有以下等价的表述方式：

abc猜想（二）

对于任何${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，存在常数${\displaystyle C_{\varepsilon }>0}$ ，使得对于互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，有：

${\displaystyle c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },}$ 

abc猜想第三个表述方式，用到了三元组(a, b, c)的品质（quality），定义为：

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$ 

例如：

• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互质正整数的三元组，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大于1的情况较少出现。

abc猜想（三）

对于任何${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle q(a,b,c)>1+\epsilon }$ 

abc猜想中的ε不能去掉，不然命题就不成立。考虑以下例子：

${\displaystyle a_{n}=3^{2^{n}}-1}$ , ${\displaystyle b_{n}=1}$ , ${\displaystyle c_{n}=3^{2^{n}}}$ 

这三个正整数互质，且有${\displaystyle a_{n}+b_{n}=c_{n}}$ 。注意到${\displaystyle a_{n}}$ 可被${\displaystyle 2^{n+2}}$ 整除，因此有

${\displaystyle \operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}}$ :

因此

${\displaystyle c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})}$ 

当n趋向无限大时，${\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{3}}}$ 也趋向无限大。因此不存在常数C，使得 c < C rad(abc)对所有适合条件的三元组都成立。

如果abc猜想得证，那么有很多结果可以推导出来。其中一些结果，在abc猜想提出后，已经以其他方法得到证明，一些则仍然为猜想。

• Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem）
• 费马大定理对所有足够大指数的情形（安德鲁·怀尔斯已证一般情形） （Granville 2002）
• Mordell猜想（格尔德·法尔廷斯已证一般情形）（Elkies 1991）
• Erdős–Woods猜想（英语：Erdős–Woods conjecture），除了有限多的反例。（Langevin 1993）
• 存在无限多非维费里希素数（Silverman 1988）
• Marshall Hall猜想（英语：Marshall Hall's conjecture）的弱形式（Nitaj 1996）
• 费马－卡塔兰猜想（Pomerance 2008）
• 用勒让德符号构成的L函数L(s, χ_d)没有Siegel零点（英语：Siegel zero）（需要abc猜想在代数数域上的一致形式，不只在有理整数上。）（Granville 2000）
• 对有至少3个简单零点的多项式P(x)，在整数x取的所有值中，只有有限个次方数。^[1]
• Tijdeman定理（英语：Tijdeman's theorem）的推广形式，关于y^m = xⁿ + k的解的个数（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，关于Ay^m = Bxⁿ + k的解的个数。
• 等价于Granville–Langevin 猜想^[2][3]
• 等价于修改后的Szpiro猜想（英语：Szpiro's conjecture）（Oesterlé 1988）
• Brocard问题（英语：Brocard's problem）n! + A= k²，对任何给定的整数A，都只有有限个解。（Dąbrowski 1996）

abc猜想导出c有abc的根基的接近线性函数的上界；不过，现在已知的是指数上界。确切结果如下：

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$  （Stewart & Tijdeman 1986）,

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$  （Stewart & Yu 1991）,

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}}$  （Stewart & Yu 2001）.

上述的上界中，K₁是不依赖a, b, c的常数，而K₂和K₃是（以可有效计算的方式）依赖于ε的常数，但不依赖于a, b, c。上述的上界对c > 2的三元组都成立。

2006年，荷兰的莱顿大学数学系与Kennislink科学研究所合作，开展ABC@Home计划。这个计划是网格计算系统，目的在找出更多的正整数三元组a, b, c使得rad(abc) < c。虽然有无限个例子或反例不能解决abc猜想，但是期望借着这个计划发现的三元组的模式，可以得出对这个猜想以至于数论的新的洞见。

下述的q是上节定义的品质。

截至2014年4月 (2014-04)^[update]，ABC@Home找出 2380 万个三元组，现今目标在找出c不大于2⁶³的所有三元组(a,b,c)。^[5]

1996年，艾伦·贝克（Alan Baker）提出一个较为精确的猜想，将${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ 用${\displaystyle \varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)}$ 取代，在此${\displaystyle \omega }$ 是${\displaystyle a,b,c}$ 的不同质因数的数目。

2007年，吕西安·施皮罗尝试给出证明，后来被发现有错误。^[7]

2012年8月，日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的abc猜想的证明，以他建立的宇宙际泰赫米勒理论（inter-universal Teichmüller theory）为基础^[8][9][10]。该证明目前正由其他数学专家检查中。^[11]当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果^[12]。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，当中很多也是打字错误^[13]。望月新一在网上公开了2013年^[14]以及2014年^[15]的检验进度报告。2018年8月，皮特·舒尔策和Jakob Stix（英语：Jakob Stix）指出，望月新一的证明论文中 Corollary 3.12 证明结尾的一行推理存在无法修复的缺陷。^[16]望月认为二者的批评存在“某种根本上的误解”。^[17]

引用

来源

• ABC@home（页面存档备份，存于互联网档案馆） 分布式计算项目ABC@Home.
• Easy as ABC（页面存档备份，存于互联网档案馆）: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
• 埃里克·韦斯坦因. abc Conjecture. MathWorld. 
• Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
• Bart de Smit's ABC Triples webpage（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The amazing ABC conjecture（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
• Questions about Number（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Barry Mazur
• Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture（页面存档备份，存于互联网档案馆） on MathOverflow
• ABC Conjecture（页面存档备份，存于互联网档案馆） Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.