费马－卡塔兰猜想

截至2015年为止，等式(1)已知有十个满足不等式(2)的解，而这些解如下：^[1]

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$  （在${\displaystyle m>6}$ 的状况下这满足不等式(2)）

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$ 

${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}$ 

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$ 

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$ 

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$ 

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$ 

${\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}$ 

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$ 

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$ 

根据在普雷达·米哈伊列斯库（英语：Preda Mihăilescu）于2002年证明的卡塔兰猜想，这些等式中的第一个，也就是${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$ ，是唯一满足${\displaystyle a,b,c}$ 其中一个是1的解。尽管因为${\displaystyle m}$ 可以是大于6的任意数之故，因此${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$ 等同于有无限多解，这些解只对${\displaystyle (a^{m},b^{n},c^{k})}$ 这三元数给出一组解。

根据利用了法尔廷斯定理的达尔蒙－关维定理（Darmon–Granville theorem），对于任意特定不等式(2)的三元数组${\displaystyle (m,n,k)}$ ，等式(1)仅有有限解；^{[2][3]:p. 64}然而完整的费马－卡塔兰猜想强于此，而这是因为完整的猜想允许${\displaystyle m,n,k}$ 这三个指数项是任意数之故。

abc猜想可导出费马－卡塔兰猜想。^[4]

亦可见贝亚尔猜想（英语：Beal conjecture）一文的内容以得知已证实不可能的指数组合；而贝亚尔猜想为真，当且仅当所有的费马－卡塔兰猜想都有${\displaystyle m=2}$ 、${\displaystyle n=2}$ 或${\displaystyle k=2}$ 。

• 幂和

• Perfect Powers: Pillai's works and their developments. Waldschmidt, M.