考拉兹猜想

取一个正整数：

• 如${\displaystyle n}$  = 6，根据上述数式，得出序列6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。（步骤中最高的数是16，共有8个步骤）
• 如${\displaystyle n}$  = 11，根据上述数式，得出序列11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。（步骤中最高的数是52，共有14个步骤）
• 如${\displaystyle n}$  = 27，根据上述数式，得出序列 {27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}（步骤中最高的数是9232，共有111个步骤）

奇偶归一猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1。

数目少于1万的，有着最高步骤数的是6171，共有261个步骤；数目少于10万的，有着最高步骤数的是77031，共有350个步骤；数目少于100万的，有着最高步骤数的是837799，共有524个步骤；数目少于1亿的，有着最高步骤数的是63728127，共有949个步骤；数目少于10亿的，有着最高步骤数的是670617279，共有986个步骤。

在1930年代，德国汉堡大学的学生洛萨·考拉兹（英语：Lothar Collatz）曾经研究过这个猜想。在1960年，角谷静夫（英语：Shizuo Kakutani）也研究过这个猜想。但这猜想到目前，仍没有任何进展。

保罗·艾狄胥就曾称，数学上尚未为此类问题提供答案。他并称会替找出答案的人奖赏500元。

目前已经有分布式计算在进行验证。到2020年，已验证正整数到${\displaystyle 2^{68}}$ ，也仍未有找到例外的情况。但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。

有的数学家认为，该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域。目前也有部分数学家和数学爱好者，在进行关于“负数的${\displaystyle 3x+1}$ ”、“${\displaystyle 5x+1}$ ”、“${\displaystyle 7x+1}$ ”等种种考拉兹猜想的变化形命题的研究。

2019年12月，陶哲轩证明只要${\displaystyle f(n)}$ 是一个趋于正无穷的实数列，那么几乎对所有的正整数${\displaystyle n}$ （在对数密度意义下） ，有${\displaystyle S(n)<f(n)}$ 。^[1][2]

• 3x + 1半群
• 模算数

• 以电脑研究考拉兹猜想的网页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Collatz Conjecture的BOINC专案网页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）