3x + 1半群

3x + 1半群是一个由正有理数形成的乘法半群，并由集合

${\displaystyle \{2\}\cup \left\{{\frac {2k+1}{3k+2}}:k\geq 0\right\}=\left\{2,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {5}{8}},{\frac {7}{11}},\ldots \right\}}$ 

生成。

函数T : Z → Z被定义为考拉兹猜想的简化版本：

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{如 果 }}n{\text{ 是 偶 數 }}\\[4px]{\frac {3n+1}{2}}&{\text{如 果 }}n{\text{ 是 奇 數 }}\end{cases}}}$ 

考拉兹猜想断言对每个正整数n，总是可以透过重复迭代T的方式将n映射到1。换句话说，总是存在一个整数k使得T^(k)(n) = 1。

举例来说：若n = 7，则对k = 1, 2, 3,...，T^(k)(n)的值就是11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1，当中T⁽¹¹⁾(7) = 1。

3x + 1半群和考拉兹猜想的关联在于，3x + 1半群也能由集合

${\displaystyle \left\{{\dfrac {n}{T(n)}}:n>0\right\}}$ 

生成。

弱考拉兹猜想断言，3x + 1半群包含了所有的正整数。

这个猜想由Farkas提出，并因为3x + 1半群本身的性质（如下）而被证明为真：^[1]

若b ≠ 0 (mod 3)，则3x + 1半群等价于正有理数a/b的集合。特别的，3x + 1半群也会包含所有正整数。

由集合

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}\right\}\cup \left\{{\frac {3k+2}{2k+1}}:k\geq 0\right\},}$ 

或集合

${\displaystyle \left\{{\frac {T(n)}{n}}:n>0\right\},}$ 

生成的半群称作野蛮半群。野蛮半群里的整数m皆满足m ≠ 0 (mod 3)。^[4]

• 野蛮数（英语：Wild number）