棱锥

在公元前1650年左右的莱因德数学纸草书中，棱锥已经作为数学对象被几何学家研究。纸草书的56至59题是有关正方锥的底边、高以及底面和侧面形成的二面角之间关系的计算，如已知高和底边长度，求二面角等^[1]:30-32。传说由欧几里德在公元前三世纪写成的《几何原本》中，第十二章第七个命题证明了：三角柱的体积等于同底同高的三角锥的三倍，但《几何原本》中没有给出直接的棱锥体积公式^[2]。公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积，并给出了通用公式。公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式^[3]。

棱锥的底面是多边形，其中的顶点和多边形所在平面外的一点用直线段相连。平面外的这一点称为棱锥的顶点，底面多边形的顶点称为底面顶点。除了底面，其余的面称为棱锥的侧面，都是由棱锥顶点和多边形的两个相邻顶点构成的三角形。连接底面顶点和棱锥顶点的直线段，也是两个相邻侧面的公共边，称为棱锥的侧棱。一个以n边形为底面的棱锥，总计有n个侧面，加上底面，一共有n+1个面；多边形的每个顶点对应一条侧棱，一共有n条侧棱。如果两条侧棱不在同一个侧面，那么它们确定的平面截棱锥所得的截面是一个过棱锥顶点的三角形，其中两条边分别是两条侧棱，另一条边在底面上，是底面多边形的一条对角线，这个平面称为棱锥的一个对角面。^[4]:86

如果底面是三角形，那么棱锥称为三棱锥或三角锥。如果每个面（包括底面）都是正三角形，这时的三棱锥就是正四面体。如果仅仅底面为正三角形，顶点在底面的投影是正三角形的中心，那么三个侧面都是全等的等腰三角形。这样的三棱锥叫做正三棱锥。同样地，底面为正多边形，而且另外一个顶点在底面上的投影是多边形的中心，这样的棱锥称为正棱锥。正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形，侧棱都等长。每个侧面三角形以多边形的边为底边的话，高称为棱锥的斜高。^[4]:86

如果平面外的顶点在底面的投影正好是多边形的某个顶点（等价于说平面外的顶点和某个顶点连成的直线垂直于地面），这样的棱锥称为直棱锥或直角棱锥。连接平面外顶点和其投影顶点的侧棱垂直于底面，所以包含这条侧棱的两个侧面也垂直于底面。

棱锥的底面多边形不一定是凸多边形。如果是星形，则称为星锥。例如，底面是五角星，则对应的棱锥叫做五星锥。

体积

棱锥的体积取决于平面外顶点到底面的距离，以及底面多边形的面积。前者称为棱锥的高，后者称为棱锥的底面积。设${\displaystyle h}$  为棱锥的高，${\displaystyle S}$ 为棱锥的底面积，${\displaystyle V}$  为棱锥的体积，则棱锥的体积可以用以下公式计算^[4]:93：

这个公式早在公元三世纪就得到了证明。现代的证明一般使用积分。假设有棱锥PA₁A₂...A_n，其中A₁A₂...A_n为底面的n边形，P为棱锥顶点。设P在底面的投影为Q点，PQ的长度为h。在线段PQ上取一点X，使得线段PX的长度为y：0 ≤ y ≤ h，那么过点X而且与底面平行的平面截棱锥得到的形状是一个和底面的n边形相似的n边形，记作A_x1A_x2...A_xn，它的面积S_y与底面积S的比值等于PX与PQ的比值的平方：

在点X附近截取的“一片”棱锥“切片”，它的体积大约等于：${\displaystyle dV_{y}\approx \left({\frac {y}{h}}\right)^{2}Sdy}$ 

所以棱锥的体积等于积分： ${\displaystyle V=\int _{y=0}^{h}dV_{y}=\int _{y=0}^{h}\left({\frac {y}{h}}\right)^{2}Sdy={\frac {h^{3}}{3}}\cdot {\frac {S}{h^{2}}}={\frac {1}{3}}Sh.}$ 

对于正棱锥，假设它的底面是正n边形，边长为a，高是h，那么底面积是：${\displaystyle S={\frac {na^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$  所以它的体积是：

表面积

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积S_c

${\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}}$ ，其中${\displaystyle S_{i},i=1,2\cdots ,n}$ 是第 i 个侧面的面积。

棱锥的表面积等于棱锥的侧面积S_c加上底面积S。假设顶点的投影Q点到第 i 个侧面对应的底边的距离是d_i，底边的长度是a_i，那么棱锥的侧面积：

${\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\sqrt {h^{2}+d_{i}^{2}}}.}$ 

对于正n棱锥，顶点到底面的投影是底面正n边形的中心。所以投影点到每一边的距离都相等：${\displaystyle d_{1}=d_{2}=\cdots =d_{n}=d.}$  因此棱锥的斜高也就是侧面三角形的高：${\displaystyle l={\sqrt {h^{2}+d^{2}}}.}$  棱锥的侧面积^[4]:87：

${\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}={\frac {1}{2}}l\sum _{i=1}^{n}a_{i}={\frac {1}{2}}lp.}$ 

其中p是底面正n边形的周长。假设底面正n边形的边长是a，高是h，那么它的周长是na，中心到每一边的距离是${\displaystyle {\frac {a}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$ 。所以斜高是：${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}}$ ，侧面积是：

${\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}={\frac {1}{2}}na{\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}.}$ 

若一锥体底面为正多边形则称为正棱锥。正棱锥是一个无穷集合，最小从三角锥开始，因为二角锥已退化成平面了。

此外锥体亦可以做为球面镶嵌：

锥体中只有一种属于正多面体，即正三角锥。

• 金字塔：某些金字塔是棱锥状建筑，大部分是四棱锥；
• 圆锥：底面为圆形而不是多边形的锥体；
• 棱台：将棱柱沿平行于底面的平面截取出来的几何体。
• 双锥体：将棱锥于底面相接合所形成的几何体。
• 类锥体：棱柱与反棱柱之关系在棱锥上的类比

• 埃里克·韦斯坦因. Pyramid. MathWorld. 
• Olshevsky, George, Pyramid at Glossary for Hyperspace.
• The Uniform Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）