幂数

幂数^[1]（英语：powerful number）也称为幂次数，是指一正整数 $n$ ，其所有素因数的平方亦是 $n$ 的约数，换言之，若存在一素因数 $p$ ，则 $p^{2}$ 也是 $n$ 的约数。

幂数可表示为一个平方数及立方数的乘积，若 $a$ 及 $b$ 为正整数（包括1在内）， $a^{2}b^{3}$ 即为幂数。而平方数及立方数本身（及整数的更高次方）也是幂数。

保罗·埃尔德什及乔治·塞凯赖什都曾针对这类数字进行研究，而数学家Solomon W. Golomb将这类的数命名为“powerful number”，“powerful”应该是指数字由许多幂所组成，但此词恰巧也有“强大的”、“有力的”的意思。

以下是1000以内幂数的列表：

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 （OEIS数列A001694）。

数学性质

幂数的素因数分解中，各素因数指数均大于1。

幂数的倒数和收敛，其值为：

\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \right)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)

其中

p为所有的素数

\zeta (s)

为黎曼ζ函数

\zeta (3)

为阿培里常数^[2]。

若用k(x)来表示当1≤n≤x时，幂数n的个数，则k满足以下的不等式

cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\cdots

^[2]

。

佩尔方程x²-8y²=1有无限多个正整数解，因此存在无限多组连续的幂数（若x、y为正整数解，则x²及8y²即为二个连续的幂数），其中最小的是8和9^[2]。而8和9恰好也是唯一一组连续的次方数（卡塔兰猜想，后来已被数学家普雷达·米哈伊列斯库证明）。

幂数的和与差

每一个奇数都可以表示为二个连续数字的平方的差：(k + 1)² = k² + 2k +1²，因此 (k + 1)² - k² = 2k + 1。而每一个4的倍数都可以表示为二个彼此差2的正整数，其平方的差：(k + 2)² - k² = 4k + 4。以上数字均可表示为二平方数的差，因此可就是二个幂数的差。

但无法被4整除的偶数（即奇偶数（英语：Singly even number））无法表示为二个平方数的差，但不确定是否可表示为二个幂数的差，然而Golomb发现以下的等式

2=3³-5²

10=13³-3⁷

18=19²-7³=3²(3³-5²)

以上的等式未包括6，Golomb猜想有无穷多个奇偶数无法表示为二个幂数的差，不过后来Narkiewicz发现6也可以表示为二个幂数的差：

6=5⁴7³-463²

而且可以找到无限多组的幂数，二个幂数之间的差为6。而McDaniel证明每个整数都有无限多组表示为二个幂数的差的方法^[3]。

保罗·埃尔德什猜想每一个足够大的整数均可表示为最多三个幂数的和，后来由Roger Heath-Brown证实了保罗·埃尔德什的猜想^[4]。

一般化

幂数的素因数分解中，所有的指数均不小于2。以此概念再延伸，若一整数的素因数分解中，所有的指数均不小于k，可称为k-幂数。

(2^k+1}-1)^k, 2^k(2^k+1-1)^k, (2^k+1-1)^k+1

是由k-幂数所组成的等差数列，若a₁, a₂, ..., a_s是由k-幂数所形成的等差数列，公差为d，则

a₁(a_s+d)^k, a₂(a_s+d)^k, ..., a_s(a_s+d)^k, (a_s+d)^k+1

则是由s+1个项k-幂数所组成的等差数列。

以下是一个有关k-幂数的恒等式：

a^k(aⁿ+...+1)^k+a^k+1(aⁿ+...+1)^k+...+a^k+n(aⁿ+...+1)^k=a^k(aⁿ+...+1)^k+1

因此可以找到无穷多组的k-幂数，其个数为n+1个，而这些k-幂数的和也是k-幂数。Nitaj证明了存在无穷多组互素的3-幂数x、y、z，满足x+y=z的形式^[5]。Cohn找到一个可产生无穷多组互素，且非立方数的3-幂数x、y、z，可满足x+y=z的方法：以下的数组

X=9712247684771506604963490444281, Y=32295800804958334401937923416351, Z=27474621855216870941749052236511

是方程式32X³ + 49Y³ = 81Z³的解（因此32X³、49Y³及81Z³即为上述的3-幂数数组）。令X′=X(49Y³ + 81Z³), Y′ = −Y(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ − 49Y³)，再除以其最大公约数即为一组新的解。

関连项目

阿喀琉斯数
次方数

注解

^ 詞都幂数. [2012-02-05]. （原始内容存档于2019-05-19）.
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 S. W. Golomb, Powerful numbes, Amer. Math. Monthly 77(1970), 848--852.
^ Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, Fibonacci Quart. 20(1982), 85--87.
^ D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51(1990), 163--171. Brown, 1987)
^ *A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 317--318.

延伸阅读

J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439--440. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7(1934), 95--102.
Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; 编辑
- Powerful number in mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] 詞都幂数. [2012-02-05]. （原始内容存档于2019-05-19）.

[Golomb-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 S. W. Golomb, Powerful numbes, Amer. Math. Monthly 77(1970), 848--852.

[3] Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, Fibonacci Quart. 20(1982), 85--87.

[4] D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51(1990), 163--171. Brown, 1987)

[5] *A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 317--318.

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