可均群

可均群是数学上一个特别的局部紧拓扑群G，具备了一种为在G上的有界函数取平均的操作，而且G在函数上的群作用，不会改变所取得的平均。

缘起

巴拿赫－塔斯基悖论

在 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的勒贝格测度，存在不可测的有界子集。豪斯多夫研究能否在 $\mathbb {R} ^{n}$ 上定义新的测度，使之可以对所有有界子集都是可测的。他要求新的测度保留勒贝格测度的等距变换不变性，就是移动及反射一个有界子集，不会改变其测度。不过，新测度无需有勒贝格测度的σ可加性（可数无限可加性），就是可数无限个不相交子集的测度总和，等于其并集的测度。他只要求新测度满足较弱的有限可加性，就是有限个不相交子集的测度总和，等于其并集的测度。

但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基后来的研究，发现了维度不小于3的 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，任意两个有内点的有界子集，可以将其一分成有限块，再移动拼合成另一个，这就是著名的巴拿赫－塔斯基悖论。因此3维以上 $\mathbb {R} ^{n}$ 不可能有豪斯多夫所要的测度。而在2维就不存在这种情况。

冯纽曼研究他们的证明，发现问题关键不是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 的结构，而是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 的旋转群上。3维以上的 $\mathbb {R} ^{n}$ ，其旋转群有子群是秩2的自由群；而2维时，旋转群没有这样的子群。

于是豪斯多夫原来的测度问题，可以把对象转到群上面。新的问题是：在一个群G上，是否存在有限可加的概率测度 $\mu$ ，是G-不变的，即是在G对其中的子集的群作用下不变：对任何 $E\subset G$ 和任何 $g\in G$ ， $\mu (gE)=\mu (E)$ 。这样的概率测度称为不变平均。（函数以这测度积分，像是取加权平均。）由此产生了可均群的概念。因为有限可加测度不像σ可加测度有好的理论，便改为考虑与有限可加测度对应的连续线性泛函。^[1]^[2]

外文名称

可均群的德文名称Mittelbare Gruppe，法文名称groupe moyennable，其中Mittel、moyenne分别为德文及法文中的平均一字，故此Mittelbare，moyennable两字意思就是可以有平均。英文名称amenable group，是英国数学家Mahlon M. Day所译，字面上与德文及法文不同，但这是藉谐音玩的文字游戏，因为amenable的英式读音，与"a mean able"相同（用美式读音就失去谐音效果），故此说出来其实也是“可以有一个平均”。

定义

设G为局部紧群。G上存在左哈尔测度 $\mu$ 。考虑在测度空间 $(G,\mu )$ 上的复值本质有界函数空间 $L^{\infty }(G)$ 。

线性泛函 $\Lambda :L^{\infty }(G)\to \mathbb {C}$ 称为平均，如果 $\Lambda$ 的范数是1，并且是非负的：若实值函数 $f\in L^{\infty }(G)$ 适合 $f\geq 0$ ，则 $\Lambda (f)\geq 0$ 。

如果 $\Lambda$ 是一个平均，则有 $\Lambda (1_{G})=1$ ，其中 $1_{G}$ 是G的特征函数。而且对任何实值函数 $f\in L^{\infty }(G)$ ，

\operatorname {*} {ess\ inf}_{x\in G}f(x)\leq \Lambda (f)\leq \operatorname {*} {ess\ sup}_{x\in G}f

其中ess sup和ess inf分别是函数的本质上确界和本质下确界。

一个平均是左不变的，如果对任何 $s\in G$ ， $f\in L^{\infty }(G)$ ，在左作用 $s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)$ 下，都有 $\Lambda (s\cdot f)=\Lambda (f)$ 。

局部紧群G如果有一个左不变平均，就称为可均群。

可均群有很多等价定义。^[3]其中一个是Følner条件：^[4]

对任何 $\epsilon >0$ ，任何紧子集 $C\subset G$ ，都存在一个紧子集 $K\subset G$ ， $0<\mu (K)<\infty$ ，使得对所有 $x\in C$ 都符合不等式

\mu (xK\triangle K)/\mu (K)<\epsilon

此处 $\triangle$ 是对称差。

如果G是可数无限的离散群，Følner条件等价于： G中存在有限子集 $S_{n}$ ，使得对任何 $g\in G$ ，

\lim _{n\to \infty }{\frac {\left|gS_{n}\triangle S_{n}\right|}{\left|S_{n}\right|}}=0

这样的 $(S_{n})$ 称为Følner序列。

性质

可均群的闭子群都是可均的。

若H是可均群G的闭正规子群，那么 $G/H$ 是可均群。

若H是局部紧群G的闭正规子群，而且H和 $G/H$ 都是可均群，那么G也是可均群。

设G是局部紧群，I是有向集合， $(H_{i})_{i\in I}$ 是G的闭可均子群组成的网，对任何 $i\leq j$ ，有 $H_{i}\subset H_{j}$ 。那么 $H={\overline {\cup _{i\in I}H_{i}}}$ 是G的可均子群。

例子

有限群是可均群。更一般地，紧群是可均群，其哈尔测度是一个不变平均。^[5]

整数群 $(\mathbb {Z} ,+)$ 和实数群 $(\mathbb {R} ,+)$ 是可均群，一个在 $\mathbb {Z}$ 或 $\mathbb {R}$ 中长度趋向无穷的有界区间序列是一个Følner序列。

局部紧的阿贝尔群是可均群。因此，局部紧的可解群是可均群：若G是局部紧的可解群，则有导出列

G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}

其中 $G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]$ 。每个 $G^{(i)}/G^{(i+1)}$ 都是阿贝尔群，所以是可均的，而平凡子群{1}也是可均群。从可均群的性质，得出G是可均群。

一个有限生成群G是次指数增长的，如果G中存在一个有限生成集合S，有对称性 $S=S^{-1}$ ，使得^[6]

\liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}}=1

次指数增长的有限生成群是可均群。

证明

从定义知对每个 $i\in \mathbb {N}$ ，都存在 $n_{i}$ 使得

{\frac {\left|S^{n_{i}+1}\right|}{\left|S^{n_{i}}\right|}}<1+{\frac {1}{i}}

对每个 $a\in S$ ，有 $S^{n_{i}},aS^{n_{i}}\subset S^{n_{i}+1}$ 。对任何 $g\in G$ 都有 $\left|gS^{n_{i}}\right|=\left|S^{n_{i}}\right|$ 。于是

{\begin{aligned}&\left|aS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|aS^{n_{i}}\setminus S^{n_{i}}\right|+\left|S^{n_{i}}\setminus aS^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|S^{n_{i}+1}\setminus S^{n_{i}}\right|+\left|S^{n_{i}+1}\setminus aS^{n_{i}}\right|\\=&(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)+(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|aS^{n_{i}}\right|)\\=&2(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)\end{aligned}}

每个 $g\in G$ 都可写成 $g=a_{1}a_{2}\cdots a_{m}$ 。设 $g_{0}=e$ , $g_{j}=g_{j-1}a_{j}$ 。用集合关系式 $A\triangle B\subset (A\triangle C)\cup (C\triangle B)$ ，得出

{\begin{aligned}&\left|gS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|\bigcup _{j=1}^{m}\left(g_{j-1}S^{n_{i}}\triangle g_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\\leq &\sum _{j=1}^{m}\left|\left(g_{j-1}S^{n_{i}}\triangle g_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\=&\sum _{j=1}^{m}\left|g_{j-1}\left(S^{n_{i}}\triangle a_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\\leq &2m(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)\end{aligned}}

因此

{\frac {\left|gS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|}{\left|S^{n_{i}}\right|}}<{\frac {2m}{i}}

所以 $(S^{n_{i}})$ 是一个Følner序列，故G是可均群。

设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 是有限生成群，而 $G_{2}$ 是可均的。若 $G_{1}$ 拟等距同构于 $G_{2}$ ，那么 $G_{1}$ 也是可均群。^[7]

秩2的自由群 $F_{2}$ 不是可均群。

证明

设a,b是 $F_{2}$ 的生成元。 $F_{2}$ 的元素都可以用a,b写成字。假设 $F_{2}$ 有不变平均M。考虑 $F_{2}$ 的一个子集A，A包含所有简约字以 $a^{n}$ 开首的元素。（n是某个不等于0的整数。）那么A, bA, $b^{2}A$ 是 $F_{2}$ 的不相交子集，所以

{\begin{aligned}3M(1_{A})&=M(1_{A})+M(1_{bA})+M(1_{b^{2}A})\\&\leq M(1_{F_{2}})=1\end{aligned}}

另一方面， $A\cup aA=F_{2}$ ，所以

{\begin{aligned}2M(1_{A})&=M(1_{A})+M(1_{aA})\\&\geq M(1_{F_{2}})\end{aligned}}

这两条不等式互相矛盾，故 $F_{2}$ 上不存在不变平均，即 $F_{2}$ 是非可均的。

所以一个群若包含 $F_{2}$ 为离散子群，则不是可均群。

如把n维空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 的旋转群SO(n)看成离散群，则n不小于3时SO(n)包含 $F_{2}$ 为（离散）子群，因此是非可均群，但SO(2)是阿贝尔群，因此是可均群。这是巴拿赫－塔斯基悖论证明中的构造法在n不小于3时可行，在n等于2时不可行的原因。不过若用SO(n)原来的拓扑，则对所有n，SO(n)都是紧群，所以都是可均群。

一个殆连通的局部紧群G是可均群，当且仅当G不包含 $F_{2}$ 为离散子群。^[8]（设 $G_{e}$ 是G的单位连通区。若 $G/G_{e}$ 紧致，则G称为殆连通群。）

冯纽曼猜想推测非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他证明了塔斯基魔群是非可均的。G是一个塔斯基魔群，如果有一个固定的素数p，G中所有真子群除了平凡子群外，都是p阶循环群。所以塔斯基魔群没有子群是秩2的自由群。

脚注

^ Pier，Ch. 1 §1.
^ Paterson，Ch. 0.
^ Pier，Ch. 2.
^ Paterson，4.10.
^ Pier，Prop. 12.1.
^ Paterson，6.41.
^ Ghys, de la Harp (éd.)，Ch. 1 Exercice 24.
^ Paterson，3.8.

参考

Pier, Jean-Paul. Amenable locally compact groups. Wiley. 1984.
Paterson, Alan. Amenability. American Mathematical Society. 1988.
É. Ghys, P. de la Harpe (éd.) (编). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser. 1990.

[FOOTNOTEPierCh._1_&sect;1-1] Pier，Ch. 1 §1.

[FOOTNOTEPatersonCh._0-2] Paterson，Ch. 0.

[FOOTNOTEPierCh._2-3] Pier，Ch. 2.

[FOOTNOTEPaterson4.10-4] Paterson，4.10.

[FOOTNOTEPierProp._12.1-5] Pier，Prop. 12.1.

[FOOTNOTEPaterson6.41-6] Paterson，6.41.

[FOOTNOTEGhys,_de_la_Harp_(éd.)Ch._1_Exercice_24-7] Ghys, de la Harp (éd.)，Ch. 1 Exercice 24.

[FOOTNOTEPaterson3.8-8] Paterson，3.8.

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