旋转群

除了保持长度（保长），旋转也保持向量间的角度（保角）。原因是两向量u和v的内积可写作：

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\tfrac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$ 

R³中的保长变换保持了标量内积值不变，也因此保持了向量间的角度。包括SO(3)在内的一般性情形，参见典型群。

三维空间中非平凡的旋转，皆绕着一个固定的“旋转轴”，此旋转轴是R³的特定一维线性子空间（参见：欧拉旋转定理）。旋转作用在与旋转轴正交的二维平面，如同寻常的二维旋转。既然二维旋转皆可以旋转角φ表示，则任意三维旋转则可用旋转轴搭配旋转角来表示。

举例来说，绕着正z轴旋转φ角的逆时针旋转为

${\displaystyle R_{z}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$ 

给定R³中一单位向量n以及角度φ，设R(φ, n)代表绕n轴作角度φ的逆时针旋转，则：

• R(0, n)为相等变换（identity transformation），n任意单位向量；
• R(φ, n) = R(−φ, −n)；
• R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)。

利用这些特性，参数为旋转角φ（范围： 0 ≤ φ ≤ π）与单位向量n的任意旋转有如下性质：

• 若φ = 0，n可为任意单位向量；
• 若0 < φ < π，n为特定单位向量；
• 若φ = π，n为彼此反向的两特定单位向量；亦即，旋转R(π, ±n)是等价的。

SO(3)中只有很少的几个有限子群，且它们全部是熟悉的对称群，包括有：

• C_k：绕一条直线转过角度2π/k的倍数的旋转的循环群
• D_k：正k边形的二面体群
• T：将正四面体映为自身的十二个旋转四面体群
• O：立方体或正八面体旋转的24阶八面体群
• I：正十二面体或正二十面体的60个旋转的二十面体群

• 旋转
• 正交群
• 欧拉角
• 定向纠缠
• 四元数与空间旋转
• 刚体
• 球谐函数