定向纠缠

空间向量并不足以完整描述空间中的旋转。考虑如下的例子：^[1]

房间中有一只咖啡杯，握把与对侧各黏有一条弹性橡皮带，橡皮带的另一端则固定在房间墙壁上，如此使咖啡杯悬浮着。握把以杯碗的中心对称轴旋转了360°，回到原来的位置。注意到虽然杯子看似回到原始的位置定向，但其相对墙壁的定向则发生扭结。若我们将咖啡杯压低至地板上，两条橡皮带将互相缠绕成双螺旋状的一匝扭转。此即定向纠缠——透过缠绕的橡皮带可以得知，咖啡杯在房间中的新定向其实不同于旧的定向。换句话说，咖啡杯的定向与周围墙壁的定向发生了纠缠。

若画一个向量跨越咖啡杯，而向量箭头朝向咖啡杯握把。在完整旋转360°后，向量会跟原来的向量叠合。透过向量本身并无法得知咖啡杯的定向与房间墙壁的定向发生纠缠。很显然，空间向量几何本身并不足以表示定向纠缠（橡皮带的扭结）。事实上，若不再旋转咖啡杯，则扭结无法解开。若我们不是360°旋转咖啡杯，而是720°旋转咖啡杯；当我们将压低咖啡杯至地板上，会发现两条橡皮带将互相缠绕成双螺旋的两匝扭转。若将咖啡杯向上挪，通过螺旋中心挪到另一侧，则扭结消失不见，橡皮带不再彼此缠绕。并不需要做额外的旋转即恢复原状。

因此，透过附在咖啡杯上的向量，我们无法区分360°旋转与720°旋转的差异；若附在咖啡杯上的改为旋量，则变成可以区分这两种情形。在此情况下，旋量变得有点像是一种“极化”的向量，其可表示为一个在莫比乌斯带上移动的向量。一开始在莫比乌斯带正面，箭头朝环带内；在旋转360°后，向量移到莫比乌斯带背面，箭头朝环带外。若再转360°（总和720°），才回到莫比乌斯带正面，并且箭头朝环带内，相应于咖啡杯与橡皮带的例子。

三维空间中，上述的例子对应到SO(3)李群不是单连通的。我们可以展示亦是三维欧几里得空间中旋量群的特殊酉群SU(2)，其为SO(3)的双覆叠群（英语：Covering group）。若X = (x₁,x₂,x₃)是R³中的向量，则我们可以将X表示作具有复数元素的2 × 2矩阵

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}x_{1}&x_{2}-ix_{3}\\x_{2}+ix_{3}&-x_{1}\end{matrix}}\right)}$ 

注意到矩阵行列式的负值−det(X)正是X作为向量时的欧几里得长度平方(x₁² + x₂² + x₃²)，而X是迹数为零的厄米矩阵。

酉群M ∈ SU(2)作用在X：

${\displaystyle X\mapsto MXM^{\dagger }}$ 

因为M是幺正的，则${\displaystyle {\rm {{det}(MXM^{\dagger })={\rm {{det}(X)}}}}}$ ，并且${\displaystyle MXM^{\dagger }}$ 为零迹数的厄米矩阵。

• Feynman, Leighton, Sands. 《费曼物理学讲义》 3 volumes 1964, 1966. Library of Congress Catalog Card No. 63-20717

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    • Animation of the Dirac belt trick with two belt attached to a (square) object, showing orientation entanglement after one turn, and lack of entanglement after two turns. The animation thus also shows that belted objects behave as spin 1/2 particles.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
    • Air on the Dirac Strings, showing orientation entanglement with several belts attached to a spherical particle, by Louis Kauffman and colleagues
    • Dirac String Trick