测度空间

测度空间是测度论的基本概念，可以看做是面积概念的推广，由一个基本的集合 $X$ 以及基于这集合的某些子集合所构成的一个新的集合 ${\mathcal {A}}$ ，这新集合会满足 σ-代数的性质，直觉的讲，对 ${\mathcal {A}}$ 中的元素我们都可以用某种方法去“测量”其大小、面积或几率等，其真正意义要看所在空间 $X$ 来决定。和一个定义在 ${\mathcal {A}}$ 上满足某些特别性质的(非负)函数 $\mu$ ，也就是测度，测度空间就由这三部分， $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ，所构成。测度空间的一个实例是概率空间。

可测度空间(measurable space)包含前两部分但不含测度。

定义

一个测度空间包含三部分资讯 $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ，且满足下列条件：^[1]^[2]

$X$ 为非空集合
${\mathcal {A}}$ 为 $X$ 上的一个 σ-代数，也就是满足某些条件的 $X$ 中的一些子集构成的集合。
$\mu$ 为 $(X,{\mathcal {A}})$ 上的测度，换句话讲，是一个定义在 ${\mathcal {A}}$ 上的有特别性质的(非负)函数。

例子

对集合

X=\{0,1\},

取

{\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.

定义

\mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},

则根据测度的可数可加性， ${\textstyle \mu (\{0,1\})=1.}$ 另根据测度的定义， ${\textstyle \mu (\emptyset )=0.}$ 则 $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ 为一个测度空间。

本例中的测度对应于 ${\textstyle p={\frac {1}{2}}}$ 的伯努利分布。

参见

参考文献

^ Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. 2008: 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
^ Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer. 2008: 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.

[Kosorok83-1] Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. 2008: 83. ISBN 978-0-387-74977-8.

[Klenke18-2] Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer. 2008: 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.

[1]

[2]