二十四边形

正二十四边形是指所有边等长、所有角等角的二十四边形，由24条相同长度的边和24个相同大小的角构成，是一种正多边形。正二十四边形的内角是${\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}$ 弧度，换算成角度是165度。在施莱夫利符号中用${\displaystyle \left\{24\right\}}$ 来表示。由于正二十四边形可看作是截去所有顶点的正十二边形，即截角的正十二边形，因此施莱夫利符号中也可以计为 ${\displaystyle t\left\{12\right\}}$ 。而正十二边形又可看作是截去所有顶点的正六边形，即截角的正六边形，因此正二十四边形在施莱夫利符号中也可以计为 ${\displaystyle tt\left\{6\right\}}$ 。而因为正六边形亦可以将正三角形透过截角变换来构造，即切去正三角形的三个顶点，因此正二十四边形可以视为正三角形经过3次的截角变换的结果，在施莱夫利符号中亦可以使用 ttt{3} 表示。

正二十四边形的内角为165度，因此其中心角为15度，其对应的直角三角形角度为7.5度，其余切值为^[2]：

${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cot \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)}$ 

由此可得到正二十四边形的面积为：

${\displaystyle A=6t^{2}\cot {\frac {\pi }{24}}={6}t^{2}(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}})}$ 

正二十四边形与正六边形、正四十八边形（日语：四十八角形）和正九十六边形（日语：九十六角形）出现在阿基米德多边形的圆周率逼近^[3]和刘徽的割圆术中^[4]。

构造

正二十四边形的边数24可约数分解为${\displaystyle 24=2^{3}\times 3}$ ，其中，3是费马素数，由于其为费马素数和2的次方的积，因此正二十四边形是一个可作图多边形^[5]。正二十四边形是一种截角十二边形，可将正十二边形边二等分并依外接圆来构造。

正二十四边形具有Dih₂₄的二面体群对称性，且其对称阶数为四十八阶。正二十四边形的二面体群对称群共有7个子群，这些子群可以分成两组，其中一组有Dih₁₂二面体群、Dih₆二面体群、Dih₃二面体群另外一组的四个子群分别为Dih₈二面体群、Dih₄二面体群、Dih₂和Dih₁二面体群。此外，其在旋转对称性中，其循环群更多达八个，他们同样可以分成两组，其中一组有Z₂₄、Z₁₂、Z₆、Z₃，另外一组的四个循环群分别为Z₈、Z₄、Z₂和Z₁。

这16种对称性可以在二十四边形上的22个不同的对称性中看到。康威将其依照群的阶数以不同的字母做标记^[6]。对称性最高，即具有所有48条对角线的是r48，例如正二十四边形，没有对称性也就是没有任何对称轴的是a1，例如不规则二十四边形。 二面体群的对称性是取决于他们是否通过顶点（d、对角线）或边(p边上的内切圆直径)划分，然后i表示边或顶点在镜射线的路径上。中间一列的循环群对称性以g和其旋转对称的阶数表示。

每个子组对称性允许一个或多个自由不规则形式。只有g24子群没有自由度，但可以看作是有向边。

部分图形与二十四边形相关，例如二十四角星，同样由二十四条边组成，但是具有边自我相交的性质。

二十四边形顶角组合

在平面上，一个顶点周围可以有1个正二十四边形、1个正三角形和1个正八边形。

但是这种顶角组合无法重复排列形成镶嵌图。

二十四角星

二十四角星是一种具有24个边的星形多边形。其中有3个正图形，其在施莱夫利符号中表示为：{24/5}、{24/7}和{24/11}。另外有7种具有相同的顶点布局，在施莱夫利符号中表示为：2{12}、3{8}、4{6}、6{4}、8{3}、3{8/3}、和2{12/5}。

此外亦有一些等角但不等边的二十四角星，可借由正十二边形{12}或十二角星{12/5}经过反截角或更深的截角来构造。这也产生了两个半截角的图形，其在施莱夫利符号中表示为：t{12/11}={24/11}和t{12/7}={24/7}^[7]。

图

K₂₄完全图经常会被以正二十四边形的图形绘制来描述其36条连接边。这个图与二十三维正二十四胞体的正投影图（英语：orthographic projection）同为24个顶点和276条边。

另外K₂₄完全图也显示了二十四边形的252条对角线。

扭歪二十四边形，又称不共面二十四边形，是指顶点并非完全共面的二十四边形。

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• 埃里克·韦斯坦因. Icositetragon. MathWorld. 
• Naming Polygons and Polyhedra（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• (simple) polygon（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• icosatetragon（页面存档备份，存于互联网档案馆）